Номер 46.55, страница 285, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.55. a) На графике функции $y = x^2$ найдите точку $M$, ближайшую к точке $A(0; 1,5)$.

б) На графике функции $y = \sqrt{x}$ найдите точку $M$, ближайшую к точке $A(4,5; 0)$.

а) Пусть точка $M$ на графике функции $y = x^2$ имеет координаты $(x_M, y_M)$. Так как точка лежит на параболе, ее координаты можно записать как $M(x, x^2)$. Координаты точки $A$ равны $(0; 1,5)$.
Найдем квадрат расстояния между точками $A$ и $M$ по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:
$d^2 = (x - 0)^2 + (x^2 - 1,5)^2 = x^2 + (x^2 - 1,5)^2$.
Чтобы найти ближайшую точку, нужно минимизировать расстояние $d$, что эквивалентно минимизации квадрата расстояния $d^2$. Введем функцию $f(x) = d^2 = x^2 + (x^2 - 1,5)^2$.
Раскроем скобки: $f(x) = x^2 + x^4 - 3x^2 + 2,25 = x^4 - 2x^2 + 2,25$.
Для нахождения точки минимума найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю:
$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 2,25)' = 4x^3 - 4x$.
$f'(x) = 0 \implies 4x^3 - 4x = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0$.
Корни этого уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$. Это стационарные точки.
Чтобы определить, какие из них являются точками минимума, исследуем знак производной на интервалах.
При $x < -1$, $f'(x) < 0$ (функция убывает).
При $-1 < x < 0$, $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Значит, $x = -1$ — точка минимума.
При $0 < x < 1$, $f'(x) < 0$ (функция убывает). Значит, $x = 0$ — точка максимума.
При $x > 1$, $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Значит, $x = 1$ — точка минимума.
Таким образом, минимальное расстояние достигается в двух точках: при $x = -1$ и $x = 1$.
Найдем ординаты этих точек:
Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 = 1$. Координаты точки $M_1(-1; 1)$.
Если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$. Координаты точки $M_2(1; 1)$.
Ответ: $M_1(-1; 1)$ и $M_2(1; 1)$.

б) Пусть точка $M$ на графике функции $y = \sqrt{x}$ имеет координаты $(x, \sqrt{x})$. Область определения функции $x \ge 0$. Координаты точки $A$ равны $(4,5; 0)$.
Найдем квадрат расстояния между точками $A$ и $M$:
$d^2 = (x - 4,5)^2 + (\sqrt{x} - 0)^2 = (x - 4,5)^2 + x$.
Введем функцию $g(x) = d^2 = (x - 4,5)^2 + x$ для $x \ge 0$.
Раскроем скобки: $g(x) = x^2 - 9x + 20,25 + x = x^2 - 8x + 20,25$.
Для нахождения точки минимума найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (x^2 - 8x + 20,25)' = 2x - 8$.
Приравняем производную к нулю: $g'(x) = 0 \implies 2x - 8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
Найденная точка $x = 4$ принадлежит области определения $x \ge 0$.
Так как $g(x)$ является параболой с ветвями вверх, то в точке $x = 4$ она достигает своего единственного минимума.
Найдем ординату точки $M$:
$y = \sqrt{x} = \sqrt{4} = 2$.
Следовательно, искомая точка $M$ имеет координаты $(4; 2)$.
Ответ: $M(4; 2)$.