Номер 46.58, страница 286, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.58. У пятиугольника $ABCDE$ углы $A$, $B$ и $E$ — прямые, $AB = a$, $BC = b$, $AE = c$, $DE = m$. Впишите в пятиугольник прямоугольник наибольшей площади, если:

а) $a = 7$, $b = 9$, $c = 3$, $m = 5$;

б) $a = 7$, $b = 18$, $c = 3$, $m = 1$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину A пятиугольника в начало координат (0, 0). Так как угол A прямой, направим сторону AB вдоль оси Ox, а сторону AE — вдоль оси Oy. Учитывая, что углы B и E также прямые, и заданные длины сторон, координаты вершин пятиугольника ABCDE будут следующими:

• A = (0, 0)
• B = (a, 0)
• C = (a, b)
• D = (m, c)
• E = (0, c)

Пятиугольник ограничен осями координат и ломаной линией, соединяющей точки E, D и C. Верхняя граница пятиугольника описывается функцией $y = f(x)$:

• отрезок DE: $y = c$ при $x \in [0, m]$
• отрезок CD: прямая, проходящая через D(m, c) и C(a, b). Ее уравнение: $y = \frac{b-c}{a-m}(x-m) + c$ при $x \in (m, a]$

Мы ищем прямоугольник с максимальной площадью, вписанный в этот пятиугольник. Будем рассматривать прямоугольники, стороны которых параллельны осям координат. Можно показать, что для данной формы пятиугольника (когда верхняя граница $f(x)$ является неубывающей функцией) максимальный по площади прямоугольник будет иметь одну из сторон на оси Ox.

Пусть такой прямоугольник задается вершинами $(x_1, 0), (x_2, 0), (x_2, h), (x_1, h)$. Его площадь $S = (x_2 - x_1)h$. Для того чтобы прямоугольник был вписан, его верхняя сторона $y=h$ должна находиться внутри пятиугольника. Это означает, что для любого $x \in [x_1, x_2]$ должно выполняться условие $h \le f(x)$.

Поскольку в обоих случаях задачи функция $f(x)$ является неубывающей, минимальное значение $f(x)$ на отрезке $[x_1, x_2]$ достигается в точке $x_1$. Таким образом, constraint $h \le f(x_1)$. Для максимизации площади при фиксированных $x_1$ и $x_2$, мы должны выбрать максимально возможную высоту $h = f(x_1)$.

Также, для максимизации площади при фиксированном $x_1$, следует выбрать максимально возможное значение $x_2$, то есть $x_2=a$.

Итак, задача сводится к нахождению максимума функции площади $S(x_1) = (a - x_1)f(x_1)$ на отрезке $x_1 \in [0, a]$.

а) a = 7, b = 9, c = 3, m = 5;

При данных значениях функция верхней границы $f(x)$ имеет вид:

• $f(x) = 3$ при $x \in [0, 5]$
• $f(x) = \frac{9-3}{7-5}(x-5) + 3 = 3(x-5) + 3 = 3x - 12$ при $x \in (5, 7]$

Разобьем задачу на два случая в зависимости от значения $x_1$.

Случай 1: $x_1 \in [0, 5]$

В этом случае $f(x_1) = 3$. Функция площади: $S(x_1) = (7 - x_1) \cdot 3$.Это линейная убывающая функция. Своего максимума на отрезке $[0, 5]$ она достигает при наименьшем возможном значении $x_1$, то есть при $x_1 = 0$.$S_{max,1} = S(0) = (7 - 0) \cdot 3 = 21$.Этот максимум соответствует прямоугольнику со сторонами на отрезках $[0, 7]$ по оси Ox и $[0, 3]$ по оси Oy. Проверим, что он вписан: высота $h=3$. Для всех $x \in [0, 7]$ должно быть $3 \le f(x)$.При $x \in [0, 5]$, $f(x)=3$, $3 \le 3$ (верно).При $x \in (5, 7]$, $f(x)=3x-12$. $3 \le 3x-12 \implies 15 \le 3x \implies 5 \le x$, что верно для данного интервала.Таким образом, прямоугольник с площадью 21 является вписанным.

Случай 2: $x_1 \in (5, 7]$

В этом случае $f(x_1) = 3x_1 - 12$. Функция площади:$S(x_1) = (7 - x_1)(3x_1 - 12) = -3x_1^2 + 21x_1 + 12x_1 - 84 = -3x_1^2 + 33x_1 - 84$.Это парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине:$x_v = -\frac{33}{2(-3)} = \frac{33}{6} = 5.5$.Это значение $x_1=5.5$ попадает в рассматриваемый интервал $(5, 7]$.Максимальная площадь в этом случае:$S_{max,2} = S(5.5) = (7 - 5.5)(3 \cdot 5.5 - 12) = 1.5 \cdot (16.5 - 12) = 1.5 \cdot 4.5 = 6.75$.

Сравнивая максимальные площади из двух случаев ($21$ и $6.75$), выбираем наибольшую.

Ответ: $21$.

б) a = 7, b = 18, c = 3, m = 1.

При данных значениях функция верхней границы $f(x)$ имеет вид:

• $f(x) = 3$ при $x \in [0, 1]$
• $f(x) = \frac{18-3}{7-1}(x-1) + 3 = \frac{15}{6}(x-1) + 3 = 2.5(x-1) + 3 = 2.5x + 0.5$ при $x \in (1, 7]$

Разобьем задачу на два случая в зависимости от значения $x_1$.

Случай 1: $x_1 \in [0, 1]$

В этом случае $f(x_1) = 3$. Функция площади: $S(x_1) = (7 - x_1) \cdot 3$.Это линейная убывающая функция, ее максимум на отрезке $[0, 1]$ достигается при $x_1 = 0$.$S_{max,1} = S(0) = (7 - 0) \cdot 3 = 21$.Прямоугольник $[0,7] \times [0,3]$ вписан, так как $h=3 \le f(x)$ для всех $x \in [0,7]$:При $x \in [0, 1]$, $f(x)=3$, $3 \le 3$ (верно).При $x \in (1, 7]$, $f(x)=2.5x+0.5$. $3 \le 2.5x+0.5 \implies 2.5 \le 2.5x \implies 1 \le x$, что верно для данного интервала.

Случай 2: $x_1 \in (1, 7]$

В этом случае $f(x_1) = 2.5x_1 + 0.5$. Функция площади:$S(x_1) = (7 - x_1)(2.5x_1 + 0.5) = -2.5x_1^2 + (7 \cdot 2.5 - 1 \cdot 0.5)x_1 + 3.5 = -2.5x_1^2 + 17x_1 + 3.5$.Это парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине:$x_v = -\frac{17}{2(-2.5)} = \frac{17}{5} = 3.4$.Это значение $x_1=3.4$ попадает в рассматриваемый интервал $(1, 7]$.Максимальная площадь в этом случае:$S_{max,2} = S(3.4) = (7 - 3.4)(2.5 \cdot 3.4 + 0.5) = 3.6 \cdot (8.5 + 0.5) = 3.6 \cdot 9 = 32.4$.

Сравнивая максимальные площади из двух случаев ($21$ и $32.4$), выбираем наибольшую.

Ответ: $32.4$.