Номер 46.56, страница 285, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.56. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

По условию, боковые стороны трапеции и одно из оснований равны 15 см. Так как боковые стороны равны, трапеция является равнобокой.

Обозначим:

• $a = 15$ см — длина известного основания.
• $c = 15$ см — длина боковых сторон.
• $x$ — длина второго, неизвестного основания.
• $h$ — высота трапеции.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a+x}{2} \cdot h = \frac{15+x}{2} \cdot h$

Чтобы выразить высоту $h$ через $x$, опустим из вершин меньшего основания перпендикуляры на большее основание. В равнобокой трапеции эти перпендикуляры отсекают два равных прямоугольных треугольника. Катет каждого такого треугольника, лежащий на большем основании, равен полуразности длин оснований. Длина этого катета равна $\frac{|x - a|}{2} = \frac{|x - 15|}{2}$.

По теореме Пифагора для одного из этих прямоугольных треугольников: $h^2 + \left(\frac{|x - 15|}{2}\right)^2 = c^2$ $h^2 = 15^2 - \frac{(x - 15)^2}{4} = 225 - \frac{(x-15)^2}{4}$ Отсюда высота $h$: $h = \sqrt{225 - \frac{(x-15)^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{900 - (x-15)^2}$

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу площади, чтобы получить площадь как функцию от $x$: $S(x) = \frac{15+x}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{900 - (x-15)^2} = \frac{15+x}{4}\sqrt{900 - (x-15)^2}$

Чтобы найти значение $x$, при котором площадь будет наибольшей, нужно найти максимум функции $S(x)$. Для упрощения вычислений можно найти максимум квадрата площади $S^2(x)$, так как функция $S(x)$ положительна, и ее максимум будет достигаться при том же значении $x$, что и максимум $S^2(x)$.

Пусть $f(x) = S^2(x)$: $f(x) = \left(\frac{15+x}{4}\right)^2 \left(900 - (x-15)^2\right)$ $f(x) = \frac{(x+15)^2}{16} \left(900 - (x^2 - 30x + 225)\right)$ $f(x) = \frac{(x+15)^2}{16} (675 + 30x - x^2)$ Разложим на множители выражение в скобках: $675 + 30x - x^2 = -(x^2 - 30x - 675) = -(x-45)(x+15) = (45-x)(x+15)$. $f(x) = \frac{(x+15)^2}{16} (45-x)(x+15) = \frac{1}{16}(x+15)^3(45-x)$

Найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $f'(x) = \frac{1}{16} \left[ ( (x+15)^3 )' \cdot (45-x) + (x+15)^3 \cdot (45-x)' \right]$ $f'(x) = \frac{1}{16} \left[ 3(x+15)^2 \cdot (45-x) + (x+15)^3 \cdot (-1) \right]$ Вынесем общий множитель $(x+15)^2$ за скобки: $f'(x) = \frac{1}{16} (x+15)^2 \left[ 3(45-x) - (x+15) \right]$ $f'(x) = \frac{1}{16} (x+15)^2 (135 - 3x - x - 15)$ $f'(x) = \frac{1}{16} (x+15)^2 (120 - 4x)$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $\frac{1}{16} (x+15)^2 (120 - 4x) = 0$ Так как длина основания $x$ должна быть положительной, $x > 0$, то множитель $(x+15)^2$ не равен нулю. Значит, $120 - 4x = 0$ $4x = 120$ $x = 30$

Чтобы убедиться, что $x=30$ является точкой максимума, исследуем знак производной $f'(x)$ в окрестности этой точки.

• При $0 < x < 30$, например $x=16$, $120 - 4x = 120 - 64 = 56 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
• При $x > 30$, например $x=31$, $120 - 4x = 120 - 124 = -4 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Поскольку производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку $x=30$, эта точка является точкой максимума.

Таким образом, площадь трапеции будет наибольшей, когда длина второго основания составляет 30 см.

Ответ: 30 см.