Номер 46.50, страница 285, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.50. а) Площадь прямоугольника составляет $16 \text{ см}^2$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

б) Площадь прямоугольника составляет $64 \text{ см}^2$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Для решения этой задачи воспользуемся известным фактом: из всех прямоугольников с заданной площадью наименьший периметр имеет квадрат. Докажем это с помощью неравенства о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши).

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника $S$ задана и равна $S = a \cdot b$.

Периметр прямоугольника $P$ равен $P = 2(a + b)$. Нам нужно найти, при каких $a$ и $b$ значение $P$ будет наименьшим.

Согласно неравенству Коши для двух неотрицательных чисел, их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического: $$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$ Равенство в этом неравенстве достигается только в том случае, когда $a = b$.

Выразим из этого неравенства сумму сторон $a+b$: $$ a+b \ge 2\sqrt{ab} $$ Теперь подставим это в формулу периметра: $$ P = 2(a+b) \ge 2(2\sqrt{ab}) = 4\sqrt{ab} $$ Так как по условию площадь $S = ab$, мы можем переписать неравенство: $$ P \ge 4\sqrt{S} $$ Это означает, что периметр $P$ всегда будет больше или равен величине $4\sqrt{S}$. Наименьшее возможное значение периметра достигается при условии равенства в неравенстве Коши, то есть когда $a=b$. Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом.

Таким образом, для нахождения размеров прямоугольника с наименьшим периметром при заданной площади нужно найти сторону квадрата с такой же площадью.

а)

Дана площадь прямоугольника $S = 16 \text{ см}^2$.

Чтобы периметр был наименьшим, прямоугольник должен быть квадратом. Пусть сторона квадрата равна $a$.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

Найдем сторону $a$, зная площадь: $$ a^2 = 16 \text{ см}^2 $$ $$ a = \sqrt{16} = 4 \text{ см} $$ Следовательно, размеры прямоугольника, при которых его периметр будет наименьшим, — это 4 см на 4 см.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 4 см на 4 см.

б)

Дана площадь прямоугольника $S = 64 \text{ см}^2$.

Аналогично предыдущему пункту, для достижения наименьшего периметра при заданной площади прямоугольник должен быть квадратом. Пусть его сторона равна $a$.

Найдем сторону $a$ из формулы площади квадрата: $$ a^2 = 64 \text{ см}^2 $$ $$ a = \sqrt{64} = 8 \text{ см} $$ Значит, искомые размеры — 8 см на 8 см.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 8 см на 8 см.