Номер 46.54, страница 285, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.54. a) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключён между графиками функций $y = 2x^2$ (снизу), $y = 4x$ (сверху) и параллелен оси $y$.

б) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключён между графиками функций $y = x^2$ (снизу), $y = -2x$ (сверху) и параллелен оси $y$.

а)

Длина вертикального отрезка, заключенного между графиками двух функций при заданном значении $x$, равна разности значений этих функций. Верхняя граница задана функцией $y_{верх} = 4x$, а нижняя — функцией $y_{низ} = 2x^2$.

Таким образом, длина отрезка $L$ в зависимости от $x$ выражается формулой:

$L(x) = y_{верх} - y_{низ} = 4x - 2x^2$

Чтобы найти область, в которой отрезок существует, найдем точки пересечения графиков функций, решив уравнение:

$4x = 2x^2$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x(x - 2) = 0$

Точки пересечения находятся при $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это означает, что отрезок заключен между графиками на интервале $x \in [0, 2]$.

Нам нужно найти наибольшее значение функции $L(x) = -2x^2 + 4x$ на отрезке $[0, 2]$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, своего наибольшего значения она достигает в вершине.

Координата $x$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $L(x)$ имеем $a = -2$ и $b = 4$:

$x_0 = -\frac{4}{2(-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$

Значение $x_0 = 1$ принадлежит отрезку $[0, 2]$, значит, в этой точке функция $L(x)$ достигает своего максимума. Найдем это максимальное значение:

$L(1) = 4(1) - 2(1)^2 = 4 - 2 = 2$

Ответ: 2

б)

Аналогично пункту а), найдем функцию длины вертикального отрезка. Верхняя граница задана функцией $y_{верх} = -2x$, а нижняя — функцией $y_{низ} = x^2$.

Длина отрезка $L$ в зависимости от $x$ равна:

$L(x) = y_{верх} - y_{низ} = (-2x) - (x^2) = -x^2 - 2x$

Найдем точки пересечения графиков, чтобы определить область существования отрезка:

$x^2 = -2x$
$x^2 + 2x = 0$
$x(x + 2) = 0$

Точки пересечения находятся при $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Таким образом, мы ищем наибольшее значение длины на отрезке $x \in [-2, 0]$.

Функция $L(x) = -x^2 - 2x$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Ее максимум находится в вершине. Найдем координату $x$ вершины ($a = -1$, $b = -2$):

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1$

Значение $x_0 = -1$ принадлежит отрезку $[-2, 0]$. Теперь вычислим наибольшую длину, подставив это значение в функцию $L(x)$:

$L(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$

Ответ: 1