Номер 46.49, страница 284, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.49. а) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

б) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

а)

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$. Длина забора — это периметр прямоугольника $P$. Площадь участка — это площадь прямоугольника $S$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, а площадь по формуле $S = a \cdot b$.

По условию, периметр равен 200 м:

$2(a+b) = 200$

$a+b = 100$

Нам нужно найти такие значения $a$ и $b$, при которых площадь $S = a \cdot b$ будет наибольшей.

Выразим одну из сторон через другую. Например, выразим $b$ через $a$ из уравнения для периметра:

$b = 100 - a$

Подставим это выражение в формулу для площади:

$S(a) = a \cdot (100 - a) = 100a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 100a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицательный. Своё наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A = -1$, $B = 100$. Найдем значение $a$, при котором площадь максимальна:

$a = - \frac{100}{2 \cdot (-1)} = - \frac{100}{-2} = 50$ м

Теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = 100 - a = 100 - 50 = 50$ м

Таким образом, для того чтобы площадь была наибольшей, участок должен быть квадратом со стороной 50 м.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 50 м на 50 м.

б)

Решение этой задачи аналогично предыдущей. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр участка по условию равен 240 м:

$P = 2(a+b) = 240$

$a+b = 120$

Площадь участка $S = a \cdot b$. Нам нужно максимизировать эту площадь.

Выразим $b$ через $a$:

$b = 120 - a$

Подставим в формулу площади:

$S(a) = a \cdot (120 - a) = 120a - a^2$

Это снова квадратичная функция $S(a) = -a^2 + 120a$, график которой — парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$a = - \frac{120}{2 \cdot (-1)} = - \frac{120}{-2} = 60$ м

Найдем вторую сторону $b$:

$b = 120 - a = 120 - 60 = 60$ м

Следовательно, для получения наибольшей площади участок должен быть квадратом со стороной 60 м.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 60 м на 60 м.