Номер 46.53, страница 285, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.53. а) В арифметической прогрессии с разностью $d$ девятый член равен 1. При каком значении $d$ произведение четвёртого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим?

б) В арифметической прогрессии с разностью $d$ второй член равен 6. При каком значении $d$ произведение первого, третьего и шестого членов будет наименьшим?

Пусть $a_n$ — n-й член арифметической прогрессии с разностью $d$. По условию, девятый член равен 1, то есть $a_9 = 1$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором произведение четвёртого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим. Выразим эти члены через $a_9$ и $d$, используя формулу $a_n = a_k + (n-k)d$.

$a_4 = a_9 + (4-9)d = 1 - 5d$

$a_7 = a_9 + (7-9)d = 1 - 2d$

$a_8 = a_9 + (8-9)d = 1 - d$

Произведение этих членов представляет собой функцию от $d$:

$P(d) = a_4 \cdot a_7 \cdot a_8 = (1 - 5d)(1 - 2d)(1 - d)$

Раскроем скобки, чтобы получить многочлен:

$P(d) = (1 - 2d - 5d + 10d^2)(1 - d) = (1 - 7d + 10d^2)(1 - d) = 1 - d - 7d + 7d^2 + 10d^2 - 10d^3 = -10d^3 + 17d^2 - 8d + 1$

Чтобы найти наибольшее значение функции, найдём её производную по $d$ и приравняем к нулю:

$P'(d) = (-10d^3 + 17d^2 - 8d + 1)' = -30d^2 + 34d - 8$

Решим уравнение $P'(d) = 0$:

$-30d^2 + 34d - 8 = 0$

Разделим обе части на -2:

$15d^2 - 17d + 4 = 0$

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 4 = 289 - 240 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$d_1 = \frac{17 - 7}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

$d_2 = \frac{17 + 7}{2 \cdot 15} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

Это стационарные точки. Чтобы определить, какая из них является точкой максимума, найдём вторую производную:

$P''(d) = (-30d^2 + 34d - 8)' = -60d + 34$

Проверим знак второй производной в этих точках:

При $d = \frac{1}{3}$: $P''(\frac{1}{3}) = -60(\frac{1}{3}) + 34 = -20 + 34 = 14 > 0$. Следовательно, это точка локального минимума.

При $d = \frac{4}{5}$: $P''(\frac{4}{5}) = -60(\frac{4}{5}) + 34 = -48 + 34 = -14 < 0$. Следовательно, это точка локального максимума.

Таким образом, произведение будет наибольшим при $d = \frac{4}{5}$.

Ответ: $d = \frac{4}{5}$.

По условию, второй член арифметической прогрессии равен 6, то есть $a_2 = 6$.

Требуется найти значение $d$, при котором произведение первого, третьего и шестого членов будет наименьшим. Выразим эти члены через $a_2$ и $d$.

$a_1 = a_2 - d = 6 - d$

$a_3 = a_2 + d = 6 + d$

$a_6 = a_2 + (6-2)d = 6 + 4d$

Произведение этих членов как функция от $d$:

$Q(d) = a_1 \cdot a_3 \cdot a_6 = (6 - d)(6 + d)(6 + 4d)$

Упростим выражение:

$Q(d) = (36 - d^2)(6 + 4d) = 216 + 144d - 6d^2 - 4d^3 = -4d^3 - 6d^2 + 144d + 216$

Для нахождения наименьшего значения найдём производную функции $Q(d)$ и приравняем её к нулю:

$Q'(d) = (-4d^3 - 6d^2 + 144d + 216)' = -12d^2 - 12d + 144$

Решим уравнение $Q'(d) = 0$:

$-12d^2 - 12d + 144 = 0$

Разделим обе части на -12:

$d^2 + d - 12 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$d_1 = 3$, $d_2 = -4$

Это стационарные точки. Чтобы определить, какая из них является точкой минимума, воспользуемся второй производной:

$Q''(d) = (-12d^2 - 12d + 144)' = -24d - 12$

Проверим знак второй производной в найденных точках:

При $d = 3$: $Q''(3) = -24(3) - 12 = -72 - 12 = -84 < 0$. Следовательно, это точка локального максимума.

При $d = -4$: $Q''(-4) = -24(-4) - 12 = 96 - 12 = 84 > 0$. Следовательно, это точка локального минимума.

Таким образом, произведение будет наименьшим при $d = -4$.

Ответ: $d = -4$.