Номер 46.47, страница 284, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.47. a) Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

б) Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.

а)

Пусть число 3 представлено в виде суммы двух положительных слагаемых $x$ и $y$.

$x + y = 3$, где $x > 0$ и $y > 0$.

Из этого соотношения выразим $x$ через $y$: $x = 3 - y$. Поскольку $x > 0$, то $3 - y > 0$, что означает $y < 3$. Таким образом, область определения для $y$ — это интервал $(0, 3)$.

Нам нужно найти наименьшее значение суммы утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого. Обозначим эту сумму функцией $S(y)$:

$S(y) = 3x + y^3 = 3(3 - y) + y^3 = 9 - 3y + y^3$

Чтобы найти наименьшее значение функции, найдем ее производную по $y$ и приравняем ее к нулю:

$S'(y) = (9 - 3y + y^3)' = -3 + 3y^2$

$S'(y) = 0 \implies -3 + 3y^2 = 0 \implies 3y^2 = 3 \implies y^2 = 1$

Так как по условию $y$ должно быть положительным, мы выбираем корень $y = 1$. Этот корень принадлежит интервалу $(0, 3)$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную:

$S''(y) = (-3 + 3y^2)' = 6y$

При $y = 1$, значение второй производной $S''(1) = 6 \cdot 1 = 6$. Так как $S''(1) > 0$, это подтверждает, что в данной точке находится минимум функции.

Теперь найдем значение первого слагаемого $x$:

$x = 3 - y = 3 - 1 = 2$

Таким образом, число 3 нужно представить в виде суммы чисел 2 и 1.

Ответ: $3 = 2 + 1$.

б)

Пусть число 5 представлено в виде суммы двух положительных слагаемых $x$ и $y$.

$x + y = 5$, где $x > 0$ и $y > 0$.

Выразим $x$ через $y$: $x = 5 - y$. Так как $x > 0$, то $5 - y > 0$, следовательно $y < 5$. Учитывая, что $y > 0$, получаем область определения для $y$: $(0, 5)$.

Нам нужно найти наибольшее значение произведения первого слагаемого и куба второго слагаемого. Обозначим это произведение функцией $P(y)$:

$P(y) = x \cdot y^3 = (5 - y)y^3 = 5y^3 - y^4$

Для нахождения наибольшего значения найдем производную функции $P(y)$ и приравняем ее к нулю:

$P'(y) = (5y^3 - y^4)' = 15y^2 - 4y^3$

$P'(y) = 0 \implies 15y^2 - 4y^3 = 0 \implies y^2(15 - 4y) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $y_1 = 0$ и $y_2$, для которого $15 - 4y = 0$, то есть $y_2 = \frac{15}{4} = 3.75$.

Решение $y = 0$ не входит в интервал $(0, 5)$, а решение $y = 3.75$ входит. Это наша критическая точка.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную:

$P''(y) = (15y^2 - 4y^3)' = 30y - 12y^2$

Вычислим значение второй производной в точке $y = 3.75$:
$P''(3.75) = 30(3.75) - 12(3.75)^2 = 3.75(30 - 12 \cdot 3.75) = 3.75(30 - 45) = 3.75(-15) = -56.25$

Поскольку $P''(3.75) < 0$, в точке $y = 3.75$ функция достигает своего максимума.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 5 - y = 5 - 3.75 = 1.25$

Таким образом, число 5 нужно представить в виде суммы чисел $1.25$ и $3.75$.

Ответ: $5 = 1.25 + 3.75$ (или $5 = \frac{5}{4} + \frac{15}{4}$).