Номер 46.44, страница 284, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.44. а) Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

б) Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.

а)

Пусть искомые целые числа — это $x$ и $y$. По условию задачи, их сумма равна 24, то есть $x + y = 24$. Необходимо найти эти числа при условии, что их произведение $P = x \cdot y$ принимает наибольшее значение.

Выразим одну переменную через другую из уравнения суммы: $y = 24 - x$.

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию от одной переменной: $P(x) = x \cdot (24 - x) = 24x - x^2$.

Функция $P(x) = -x^2 + 24x$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен). Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, вычисляется по формуле $x_0 = -b / (2a)$.

В нашем случае $a = -1$ и $b = 24$. Найдем $x_0$: $x = -24 / (2 \cdot (-1)) = -24 / (-2) = 12$.

Итак, одно из чисел равно 12. Найдем второе число: $y = 24 - x = 24 - 12 = 12$.

Оба числа являются целыми. Их сумма $12 + 12 = 24$, а их произведение $12 \cdot 12 = 144$ является максимальным.

Ответ: 12 и 12.

б)

Пусть искомые положительные числа — это $x$ и $y$. По условию, их произведение равно 484, то есть $x \cdot y = 484$. Необходимо найти эти числа при условии, что их сумма $S = x + y$ принимает наименьшее значение.

Для решения этой задачи можно использовать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для двух положительных чисел $x$ и $y$ оно гласит: $(x + y) / 2 \ge \sqrt{x \cdot y}$.

Наименьшее значение суммы достигается тогда, когда в этом неравенстве выполняется равенство, то есть при $x = y$.

Подставим в неравенство известное значение произведения: $(x + y) / 2 \ge \sqrt{484}$.

Вычислим корень: $\sqrt{484} = 22$. $(x + y) / 2 \ge 22$.

Умножив обе части на 2, получим: $x + y \ge 44$.

Таким образом, наименьшее возможное значение суммы $x + y$ равно 44. Это значение достигается при условии $x = y$.

Подставим $y = x$ в уравнение произведения: $x \cdot x = 484$ $x^2 = 484$.

Поскольку числа по условию положительные, извлекаем положительный корень: $x = \sqrt{484} = 22$.

Так как $x = y$, то второе число также равно 22.

Проверим: числа положительные, их произведение $22 \cdot 22 = 484$, а их сумма $22 + 22 = 44$ является наименьшей.

Ответ: 22 и 22.