Номер 46.41, страница 283, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.41. Сколько натуральных чисел принадлежит области значений функции $y = \sqrt{(x^3 - x^2)^3} + \sqrt{9 - 6x + x^2}$, $x \in [3; 5]$?

Для того чтобы найти, сколько натуральных чисел принадлежит области значений функции $y = \sqrt{(x^3 - x^2)^3} + \sqrt{9 - 6x + x^2}$ на отрезке $x \in [3; 5]$, мы сначала упростим данное выражение, а затем найдем ее минимальное и максимальное значения на указанном отрезке.

1. Упрощение функции.
Функция состоит из двух слагаемых. Рассмотрим каждое из них.
Второе слагаемое: $\sqrt{9 - 6x + x^2}$. Подкоренное выражение является полным квадратом: $9 - 6x + x^2 = (x-3)^2$.Тогда $\sqrt{9 - 6x + x^2} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.Поскольку по условию $x$ принадлежит отрезку $[3; 5]$, выражение $x-3$ неотрицательно, т.е. $x-3 \ge 0$. Следовательно, $|x-3| = x-3$.
Первое слагаемое: $\sqrt{(x^3 - x^2)^3}$. Вынесем общий множитель $x^2$ из скобок: $x^3 - x^2 = x^2(x-1)$.На отрезке $[3; 5]$ множитель $x^2$ положителен, и множитель $x-1$ также положителен. Значит, выражение $x^3-x^2$ положительно, и корень из него определен.Таким образом, исходную функцию можно записать в виде:$y(x) = \sqrt{(x^3 - x^2)^3} + x - 3$.

2. Нахождение области значений.
Чтобы найти область значений функции на отрезке, исследуем ее на монотонность с помощью производной.$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( (x^3 - x^2)^{3/2} + x - 3 \right) = \frac{3}{2}(x^3 - x^2)^{1/2} \cdot (3x^2 - 2x) + 1$.Проанализируем знак производной на отрезке $[3; 5]$:

• Выражение $(x^3 - x^2)^{1/2} = \sqrt{x^2(x-1)}$ положительно, так как $x \in [3; 5]$.
• Выражение $3x^2 - 2x = x(3x - 2)$ также положительно для $x \in [3; 5]$.

Произведение положительных чисел положительно, поэтому первый член производной $\frac{3}{2}(x^3 - x^2)^{1/2} \cdot (3x^2 - 2x)$ положителен. Прибавление единицы также дает положительный результат.Следовательно, $y'(x) > 0$ для всех $x \in [3; 5]$. Это означает, что функция $y(x)$ строго возрастает на данном отрезке.

Поскольку функция строго возрастает, свое наименьшее значение она принимает в начале отрезка (при $x=3$), а наибольшее — в конце отрезка (при $x=5$).

Минимальное значение функции:$y(3) = \sqrt{(3^3 - 3^2)^3} + 3 - 3 = \sqrt{(27 - 9)^3} = \sqrt{18^3} = \sqrt{18^2 \cdot 18} = 18\sqrt{18} = 18\sqrt{9 \cdot 2} = 18 \cdot 3\sqrt{2} = 54\sqrt{2}$.

Максимальное значение функции:$y(5) = \sqrt{(5^3 - 5^2)^3} + 5 - 3 = \sqrt{(125 - 25)^3} + 2 = \sqrt{100^3} + 2 = \sqrt{(10^2)^3} + 2 = \sqrt{10^6} + 2 = 10^3 + 2 = 1002$.

Итак, область значений функции $E(y)$ на отрезке $[3; 5]$ — это отрезок $[54\sqrt{2}, 1002]$.

3. Подсчет натуральных чисел.
Нам нужно найти количество натуральных чисел $n$, которые удовлетворяют неравенству $54\sqrt{2} \le n \le 1002$.Для этого оценим нижнюю границу $54\sqrt{2}$. Возведем это число в квадрат:$(54\sqrt{2})^2 = 54^2 \cdot 2 = 2916 \cdot 2 = 5832$.Теперь сравним полученное значение с квадратами ближайших целых чисел:$76^2 = 5776$$77^2 = 5929$Поскольку $5776 < 5832 < 5929$, то $76^2 < (54\sqrt{2})^2 < 77^2$. Извлекая квадратный корень, получаем $76 < 54\sqrt{2} < 77$.

Следовательно, натуральные числа из области значений функции — это целые числа от 77 до 1002 включительно.Количество таких чисел равно:$1002 - 77 + 1 = 925 + 1 = 926$.

Ответ: 926