Номер 46.62, страница 286, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.62. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём 343 $м^3$. При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала?

Для решения задачи необходимо найти размеры закрытого металлического бака с квадратным дном, при которых площадь его поверхности будет минимальной при заданном объеме. Минимальная площадь поверхности соответствует наименьшему количеству материала, необходимого для изготовления бака.

1. Обозначим переменные и составим уравнения.
Пусть $a$ — длина стороны квадратного дна бака (в метрах), а $h$ — высота бака (в метрах). Так как дно квадратное, его площадь равна $a^2$.

Объем бака $V$ вычисляется по формуле:
$V = \text{Площадь основания} \times \text{Высота} = a^2 h$.
По условию, объем бака равен 343 м?, следовательно:
$a^2 h = 343$.

Количество материала определяется общей площадью поверхности бака $S$. Бак закрытый, поэтому его поверхность состоит из дна, крышки и четырех боковых стенок.
Площадь дна: $a^2$.
Площадь крышки: $a^2$.
Площадь одной боковой стенки: $a \cdot h$.
Площадь четырех боковых стенок: $4ah$.
Общая площадь поверхности $S$:
$S = a^2 + a^2 + 4ah = 2a^2 + 4ah$.

2. Выразим площадь поверхности как функцию одной переменной.
Наша задача — минимизировать функцию $S(a, h)$. Чтобы найти минимум, выразим одну переменную через другую, используя уравнение для объема. Из $a^2 h = 343$ выразим $h$:
$h = \frac{343}{a^2}$.
Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади поверхности $S$:
$S(a) = 2a^2 + 4a \left( \frac{343}{a^2} \right) = 2a^2 + \frac{1372}{a}$.
Мы получили функцию площади поверхности, зависящую только от длины стороны основания $a$, где $a > 0$.

3. Найдем минимум функции.
Для нахождения минимума функции $S(a)$ найдем ее производную по $a$ и приравняем к нулю.
$S'(a) = \frac{d}{da} \left( 2a^2 + \frac{1372}{a} \right) = \frac{d}{da} (2a^2 + 1372a^{-1})$.
$S'(a) = 4a - 1372a^{-2} = 4a - \frac{1372}{a^2}$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$4a - \frac{1372}{a^2} = 0$.
$4a = \frac{1372}{a^2}$.
$4a^3 = 1372$.
$a^3 = \frac{1372}{4}$.
$a^3 = 343$.
$a = \sqrt[3]{343} = 7$.

4. Проверим, что найденная точка является точкой минимума.
Для этого найдем вторую производную $S''(a)$:
$S''(a) = \frac{d}{da} \left( 4a - 1372a^{-2} \right) = 4 - 1372(-2)a^{-3} = 4 + \frac{2744}{a^3}$.
При $a=7$, значение второй производной:
$S''(7) = 4 + \frac{2744}{7^3} = 4 + \frac{2744}{343} = 4 + 8 = 12$.
Так как $S''(7) = 12 > 0$, то при $a=7$ функция $S(a)$ имеет минимум.

5. Найдем высоту бака.
Теперь, когда мы знаем оптимальное значение $a$, найдем соответствующую высоту $h$:
$h = \frac{343}{a^2} = \frac{343}{7^2} = \frac{343}{49} = 7$.

Таким образом, для минимизации количества материала бак должен иметь форму куба со стороной 7 метров.

Ответ: Наименьшее количество материала пойдёт на изготовление бака, если он будет иметь форму куба с размерами 7 м ? 7 м ? 7 м.