Номер 46.67, страница 286, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.67. Объем цилиндра равен $V \text{ м}^3$. Каким должен быть его радиус, чтобы полная поверхность цилиндра была наименьшей?

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Объем цилиндра $V$ определяется по формуле: $V = \pi r^2 h$

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ складывается из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Задача состоит в том, чтобы найти значение $r$, при котором функция $S$ принимает наименьшее значение при постоянном объеме $V$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу объема. Выразим высоту $h$ через радиус $r$ и объем $V$: $h = \frac{V}{\pi r^2}$

Подставим это выражение для $h$ в формулу площади полной поверхности, чтобы получить функцию $S$ как функцию одной переменной $r$: $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{V}{\pi r^2} \right) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$

Для нахождения наименьшего значения функции $S(r)$ необходимо найти ее производную по $r$ и приравнять ее к нулю. $S'(r) = \frac{d}{dr} \left( 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} \right) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$

Перенесем одно из слагаемых в правую часть и, учитывая, что $r > 0$, решим уравнение: $4\pi r = \frac{2V}{r^2}$ $4\pi r^3 = 2V$ $r^3 = \frac{2V}{4\pi} = \frac{V}{2\pi}$

Отсюда находим значение радиуса $r$, при котором площадь поверхности может быть минимальной: $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

Чтобы убедиться, что в этой точке достигается именно минимум, а не максимум, найдем вторую производную функции $S(r)$: $S''(r) = \frac{d}{dr} \left( 4\pi r - \frac{2V}{r^2} \right) = 4\pi + \frac{4V}{r^3}$

Поскольку объем $V > 0$ и радиус $r > 0$, значение второй производной $S''(r)$ всегда будет положительным. Это означает, что найденная критическая точка является точкой минимума.

Таким образом, полная поверхность цилиндра будет наименьшей при радиусе, равном $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$.

Ответ: $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ м.