Номер 46.66, страница 286, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.66. Периметр осевого сечения цилиндра равен $p$ см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объём был наибольшим?

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Обозначим высоту цилиндра как $h$, а радиус его основания как $r$. Тогда стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d = 2r$.

Периметр осевого сечения, по условию задачи, равен $p$. Периметр прямоугольника вычисляется как удвоенная сумма его смежных сторон:

$p = 2(h + 2r)$

Объем цилиндра $V$ определяется формулой:

$V = \pi r^2 h$

Наша задача — найти такое значение $h$, при котором объем $V$ будет максимальным. Для этого выразим одну из переменных ($h$ или $r$) из формулы периметра и подставим в формулу объема.

Выразим $h$ из формулы периметра:

$\frac{p}{2} = h + 2r$

$h = \frac{p}{2} - 2r$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу объема, чтобы получить функцию объема, зависящую только от переменной $r$:

$V(r) = \pi r^2 \left(\frac{p}{2} - 2r\right) = \frac{\pi p}{2}r^2 - 2\pi r^3$

Чтобы найти максимальное значение объема, необходимо найти точку экстремума функции $V(r)$. Для этого найдем ее производную по $r$ и приравняем ее к нулю:

$V'(r) = \frac{d}{dr}\left(\frac{\pi p}{2}r^2 - 2\pi r^3\right) = \frac{\pi p}{2} \cdot 2r - 2\pi \cdot 3r^2 = \pi p r - 6\pi r^2$

Приравняем производную к нулю:

$\pi p r - 6\pi r^2 = 0$

$\pi r(p - 6r) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $r = 0$ и $r = \frac{p}{6}$. Решение $r=0$ соответствует цилиндру с нулевым объемом, что является минимумом. Следовательно, кандидатом на точку максимума является $r = \frac{p}{6}$.

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную функции объема:

$V''(r) = \frac{d}{dr}(\pi p r - 6\pi r^2) = \pi p - 12\pi r$

Подставим значение $r = \frac{p}{6}$ во вторую производную:

$V''\left(\frac{p}{6}\right) = \pi p - 12\pi\left(\frac{p}{6}\right) = \pi p - 2\pi p = -\pi p$

Поскольку периметр $p$ является положительной величиной ($p>0$), то $V''\left(\frac{p}{6}\right) < 0$. Это подтверждает, что при $r = \frac{p}{6}$ объем цилиндра достигает своего максимального значения.

Теперь найдем высоту $h$, соответствующую этому значению радиуса:

$h = \frac{p}{2} - 2r = \frac{p}{2} - 2\left(\frac{p}{6}\right) = \frac{p}{2} - \frac{p}{3} = \frac{3p - 2p}{6} = \frac{p}{6}$

Таким образом, для того чтобы объем цилиндра был наибольшим, его высота должна быть равна $\frac{p}{6}$ см.

Ответ: $h = \frac{p}{6}$ см.