Номер 47.2, страница 287, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.2. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7 (повторения цифр допустимы).

а) Сколько всего можно составить чисел?

б) Сколько всего можно составить чисел, отличающихся от 40 менее чем на 10?

в) Сколько всего можно составить чётных чисел?

г) Сколько можно составить чисел, отличающихся от 50 более чем на 20?

а) Сколько всего можно составить чисел?

Для составления двузначного числа используются цифры из набора {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7}. Всего в наборе 7 цифр. Двузначное число состоит из двух позиций: десятки и единицы. На позицию десятков можно поставить любую цифру из данного набора, кроме 0 (иначе число не будет двузначным). Следовательно, для первой цифры есть 6 возможных вариантов: {1, 2, 4, 5, 6, 7}. На позицию единиц можно поставить любую из 7 данных цифр, так как по условию повторения цифр допустимы. Для нахождения общего количества возможных чисел используется комбинаторное правило умножения: количество вариантов для первой цифры умножается на количество вариантов для второй. $N_{всего} = 6 \times 7 = 42$.

Ответ: 42

б) Сколько всего можно составить чисел, отличающихся от 40 менее чем на 10?

Условие "число отличается от 40 менее чем на 10" математически записывается как неравенство $|N - 40| < 10$, где $N$ - искомое число. Это двойное неравенство: $-10 < N - 40 < 10$. Прибавив 40 ко всем частям, получим диапазон для $N$: $30 < N < 50$. Нам нужно найти все двузначные числа, которые можно составить из данных цифр, попадающие в этот интервал. Первая цифра (десятки) такого числа должна быть 3 или 4. В нашем наборе цифр {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7} цифры 3 нет, поэтому первая цифра может быть только 4. Итак, первая цифра - это 4 (1 вариант). Вторая цифра (единицы) может быть любой из 7 доступных цифр: {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7}. Таким образом, мы можем составить следующие числа: 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47. Все эти 7 чисел удовлетворяют условию $30 < N < 50$.

Ответ: 7

в) Сколько всего можно составить чётных чисел?

Число является чётным, если его последняя цифра (цифра единиц) является чётной. В нашем наборе цифр {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7} чётными являются {0, 2, 4, 6}. Таким образом, для цифры единиц есть 4 варианта. На место десятков, как и в пункте а), можно поставить любую цифру, кроме 0. Таких вариантов 6: {1, 2, 4, 5, 6, 7}. По правилу умножения, общее количество возможных чётных двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $N_{чётные} = 6 \times 4 = 24$.

Ответ: 24

г) Сколько можно составить чисел, отличающихся от 50 более чем на 20?

Условие "число отличается от 50 более чем на 20" записывается как неравенство $|N - 50| > 20$. Это неравенство распадается на два случая: 1) $N - 50 > 20$, что даёт $N > 70$. 2) $N - 50 < -20$, что даёт $N < 30$. Нам нужно посчитать количество чисел, удовлетворяющих любому из этих двух условий.
Случай 1: $N < 30$
Первая цифра (десятки) должна быть меньше 3. Из доступных для первой цифры вариантов {1, 2, 4, 5, 6, 7} подходят 1 и 2. То есть, 2 варианта. Вторая цифра (единицы) может быть любой из 7 доступных цифр. Количество таких чисел: $2 \times 7 = 14$.
Случай 2: $N > 70$
Первая цифра (десятки) должна быть 7 или больше. Из доступных вариантов {1, 2, 4, 5, 6, 7} подходит только 7. То есть, 1 вариант. Число имеет вид 7Y. Чтобы оно было строго больше 70 ($N > 70$), вторая цифра Y должна быть больше 0. Из нашего набора {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7} для Y подходят {1, 2, 4, 5, 6, 7}. Таких вариантов 6. Количество таких чисел: $1 \times 6 = 6$.
Общее количество искомых чисел равно сумме чисел из обоих случаев, так как они не пересекаются: $N_{общ} = 14 + 6 = 20$.

Ответ: 20