Номер 47.9, страница 289, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.9. В урне лежат три неразличимых на ощупь шара, два белых и один чёрный. При вытаскивании чёрного шара его возвращают обратно, а вытащенный белый шар откладывают в сторону. Такую операцию производят два раза подряд.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.

б) В скольких случаях оба вытащенных шара будут чёрными?

в) В скольких случаях вытащенные шары будут разного цвета?

г) Нарисуйте дерево возможных вариантов для трёх вытаскиваний из двух чёрных и двух белых шаров.

В условии задачи описан следующий стохастический эксперимент.
Исходные условия для пунктов а), б), в): в урне находятся 2 белых (Б) и 1 чёрный (Ч) шар. Всего 3 шара.
Правила:

• Если вытаскивают чёрный шар (Ч), его возвращают в урну.
• Если вытаскивают белый шар (Б), его откладывают в сторону (не возвращают).

Операция (вытаскивание шара) производится два раза подряд.

Дерево вариантов показывает все возможные последовательности исходов. Для каждого шага укажем состояние урны (количество белых и чёрных шаров).

• Начало (в урне 2Б, 1Ч)
  • 1-й шаг: вытащен белый шар (Б). Вероятность этого события $P(Б_1) = \frac{2}{3}$.
    Поскольку белый шар не возвращается, в урне остаётся 1Б и 1Ч.
    • 2-й шаг: вытащен белый шар (Б). Вероятность: $P(Б_2|Б_1) = \frac{1}{2}$.
      Итоговая комбинация: (Б, Б).
    • 2-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). Вероятность: $P(Ч_2|Б_1) = \frac{1}{2}$.
      Итоговая комбинация: (Б, Ч).
  • 1-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). Вероятность этого события $P(Ч_1) = \frac{1}{3}$.
    Поскольку чёрный шар возвращается, в урне остаётся 2Б и 1Ч.
    • 2-й шаг: вытащен белый шар (Б). Вероятность: $P(Б_2|Ч_1) = \frac{2}{3}$.
      Итоговая комбинация: (Ч, Б).
    • 2-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). Вероятность: $P(Ч_2|Ч_1) = \frac{1}{3}$.
      Итоговая комбинация: (Ч, Ч).

Ответ: Дерево вариантов со всеми возможными исходами (Б, Б), (Б, Ч), (Ч, Б), (Ч, Ч) представлено выше.

Анализируя дерево вариантов из пункта а), мы находим только одну ветвь, которая приводит к исходу, где оба шара чёрные. Это происходит, когда на первом шаге вытаскивают чёрный шар и на втором шаге также вытаскивают чёрный шар.

Такой исход соответствует комбинации (Ч, Ч).

Ответ: В 1 случае.

Обратимся к дереву вариантов из пункта а). Нас интересуют исходы, в которых цвета шаров не совпадают. Таких исходов два:

1. Сначала вытащен белый шар, затем — чёрный. Комбинация: (Б, Ч).
2. Сначала вытащен чёрный шар, затем — белый. Комбинация: (Ч, Б).

Следовательно, существует два таких случая.

Ответ: В 2 случаях.

Для этого пункта меняются начальные условия: в урне 2 белых (Б) и 2 чёрных (Ч) шара (всего 4 шара). Правила остаются теми же. Необходимо построить дерево для трёх вытаскиваний.

• Начало (в урне 2Б, 2Ч)
  • 1-й шаг: вытащен белый шар (Б). В урне остаётся 1Б, 2Ч.
    • 2-й шаг: вытащен белый шар (Б). В урне остаётся 0Б, 2Ч.
      • 3-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). (Единственный возможный вариант).
        Итоговая комбинация: (Б, Б, Ч).
    • 2-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). В урне остаётся 1Б, 2Ч.
      • 3-й шаг: вытащен белый шар (Б).
        Итоговая комбинация: (Б, Ч, Б).
      • 3-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч).
        Итоговая комбинация: (Б, Ч, Ч).
  • 1-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). В урне остаётся 2Б, 2Ч.
    • 2-й шаг: вытащен белый шар (Б). В урне остаётся 1Б, 2Ч.
      • 3-й шаг: вытащен белый шар (Б).
        Итоговая комбинация: (Ч, Б, Б).
      • 3-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч).
        Итоговая комбинация: (Ч, Б, Ч).
    • 2-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). В урне остаётся 2Б, 2Ч.
      • 3-й шаг: вытащен белый шар (Б).
        Итоговая комбинация: (Ч, Ч, Б).
      • 3-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч).
        Итоговая комбинация: (Ч, Ч, Ч).

Ответ: Дерево вариантов для трёх вытаскиваний из урны с двумя белыми и двумя чёрными шарами представлено выше.