Номер 47.10, страница 289, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.10. Из пяти одноклассниц $А$, $Б$, $В$, $Г$, $Д$ только $В$ и $Д$ дружат со всеми, $Б$ дружит, кроме $В$ и $Д$, только с $Г$, остальные не дружат между собой. Для проведения соревнования надо из этих одноклассниц выбрать капитана и его заместителя, которые дружат между собой.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора.

б) В скольких вариантах капитаном будет $А$?

в) В скольких вариантах выбора будет присутствовать $В$?

г) В скольких вариантах выбора $Г$ будет заместителем?

Для решения задачи сначала установим все дружеские связи между одноклассницами на основе данных условий. Будем считать, что дружба — это взаимное отношение: если А дружит с Б, то и Б дружит с А.

В группе пять одноклассниц: А, Б, В, Г, Д.

1. «только В и Д дружат со всеми». Это означает:

• В дружит с А, Б, Г, Д.
• Д дружит с А, Б, В, Г.

2. «Б дружит, кроме В и Д, только с Г». Это условие уточняет круг друзей Б. Мы уже знаем, что В и Д дружат с Б (из пункта 1). Фраза означает, что из оставшихся одноклассниц (А и Г) Б дружит только с Г. Таким образом, полный список друзей Б: В, Г, Д.

3. «остальные не дружат между собой». Эта фраза относится к парам, чьи отношения еще не определены. Единственная такая пара — это (А, Г). Следовательно, А и Г не дружат.

Сведем все дружеские связи в список:

• Друзья А: В, Д.
• Друзья Б: В, Г, Д.
• Друзья В: А, Б, Г, Д.
• Друзья Г: Б, В, Д.
• Друзья Д: А, Б, В, Г.

Теперь, зная все пары друзей, мы можем ответить на вопросы. Капитана и его заместителя нужно выбрать так, чтобы они дружили между собой. Это означает, что мы ищем все возможные упорядоченные пары друзей.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора.

Дерево вариантов представляет собой выбор капитана, а затем выбор его заместителя из числа его друзей. Список всех возможных пар «капитан — заместитель» выглядит так:

• Капитан А. Его друзья — В, Д. Возможные заместители:
  • Заместитель В
  • Заместитель Д
• Капитан Б. Его друзья — В, Г, Д. Возможные заместители:
  • Заместитель В
  • Заместитель Г
  • Заместитель Д
• Капитан В. Его друзья — А, Б, Г, Д. Возможные заместители:
  • Заместитель А
  • Заместитель Б
  • Заместитель Г
  • Заместитель Д
• Капитан Г. Его друзья — Б, В, Д. Возможные заместители:
  • Заместитель Б
  • Заместитель В
  • Заместитель Д
• Капитан Д. Его друзья — А, Б, В, Г. Возможные заместители:
  • Заместитель А
  • Заместитель Б
  • Заместитель В
  • Заместитель Г

Общее число вариантов равно сумме всех «листьев» дерева: $2 + 3 + 4 + 3 + 4 = 16$.

Ответ: Дерево вариантов представлено выше в виде списка.

б) В скольких вариантах капитаном будет А?

Чтобы А была капитаном, её заместитель должен быть её другом. Друзья А — это В и Д. Следовательно, есть два возможных варианта:

1. Капитан — А, заместитель — В.
2. Капитан — А, заместитель — Д.

Ответ: В 2 вариантах.

в) В скольких вариантах выбора будет присутствовать В?

В может присутствовать в паре либо как капитан, либо как заместитель.

1. В — капитан. Её друзья: А, Б, Г, Д. Значит, есть 4 варианта, где В является капитаном: (В, А), (В, Б), (В, Г), (В, Д).

2. В — заместитель. Капитаном может быть любой из её друзей. Друзья В: А, Б, Г, Д. Значит, есть 4 варианта, где В является заместителем: (А, В), (Б, В), (Г, В), (Д, В).

Общее количество вариантов, где присутствует В, равно сумме этих двух случаев: $4 + 4 = 8$.

Ответ: В 8 вариантах.

г) В скольких вариантах выбора Г будет заместителем?

Если Г — заместитель, то капитаном должен быть кто-то из её друзей. Друзья Г — это Б, В, Д. Таким образом, есть три возможных варианта:

1. Капитан — Б, заместитель — Г.
2. Капитан — В, заместитель — Г.
3. Капитан — Д, заместитель — Г.

Ответ: В 3 вариантах.