Номер 47.12, страница 289, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.12. a) $\frac{1}{4!} + \frac{10}{5!} + \frac{630}{6!};$

б) $\frac{1}{6!} + \frac{1}{5!} - \frac{49}{7!}.$

а) $ \frac{1}{4!} + \frac{10}{5!} + \frac{630}{6!} $

Для решения этого выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Наибольший знаменатель в данном выражении — $6!$, поэтому он и будет общим знаменателем.

Вспомним определение факториала: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

Используя это, мы можем выразить меньшие факториалы через больший:
$5! = \frac{6!}{6}$
$4! = \frac{5!}{5} = \frac{6!/6}{5} = \frac{6!}{30}$

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю $6!$:

Первый член: $ \frac{1}{4!} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 6}{4! \cdot 5 \cdot 6} = \frac{30}{6!} $.

Второй член: $ \frac{10}{5!} = \frac{10 \cdot 6}{5! \cdot 6} = \frac{60}{6!} $.

Третий член уже имеет нужный знаменатель: $ \frac{630}{6!} $.

Теперь сложим все дроби:

$ \frac{30}{6!} + \frac{60}{6!} + \frac{630}{6!} = \frac{30 + 60 + 630}{6!} = \frac{720}{6!} $.

Вычислим значение $6!$: $6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

Подставим это значение в наше выражение:

$ \frac{720}{720} = 1 $.

Ответ: $1$

б) $ \frac{1}{6!} + \frac{1}{5!} - \frac{49}{7!} $

Как и в предыдущем примере, приведем все дроби к общему знаменателю. В данном случае общим знаменателем будет $7!$.

Выразим меньшие факториалы через $7!$:

$6! = \frac{7!}{7}$
$5! = \frac{6!}{6} = \frac{7!/7}{6} = \frac{7!}{42}$

Приведем каждую дробь к знаменателю $7!$:

Первый член: $ \frac{1}{6!} = \frac{1 \cdot 7}{6! \cdot 7} = \frac{7}{7!} $.

Второй член: $ \frac{1}{5!} = \frac{1 \cdot 6 \cdot 7}{5! \cdot 6 \cdot 7} = \frac{42}{7!} $.

Третий член уже имеет нужный знаменатель: $ \frac{49}{7!} $.

Теперь выполним арифметические операции:

$ \frac{7}{7!} + \frac{42}{7!} - \frac{49}{7!} = \frac{7 + 42 - 49}{7!} = \frac{49 - 49}{7!} = \frac{0}{7!} $.

Любая дробь с нулем в числителе (и ненулевым знаменателем) равна нулю.

$ \frac{0}{7!} = 0 $.

Ответ: $0$