Номер 47.16, страница 290, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.16. Решите уравнение:

a) $n! = 42(n - 2)!$;

б) $(k + 17)! = 420(k + 15)!$;

в) $0.125n! = (n - 1)! - 90$;

г) $(3x)! = 504(3x - 3)!$.

а) $n! = 42(n - 2)!$
По определению факториала $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n$.
Таким образом, $n!$ можно представить как $n! = n(n-1)(n-2)!$.
Область допустимых значений для $n$ определяется условием существования факториалов: $n \ge 0$ и $n-2 \ge 0$, откуда следует, что $n \ge 2$. Также $n$ должно быть целым числом.
Подставим выражение для $n!$ в исходное уравнение:
$n(n-1)(n-2)! = 42(n-2)!$
Поскольку $n \ge 2$, то $(n-2)! \ge 0! = 1$, значит $(n-2)! \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(n-2)!$:
$n(n-1) = 42$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$n^2 - n = 42$
$n^2 - n - 42 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $n_1 = 7$ и $n_2 = -6$.
Проверим корни по области допустимых значений ($n \ge 2$).
Корень $n_1 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 2$.
Корень $n_2 = -6$ не удовлетворяет условию $-6 \ge 2$, поэтому он является посторонним.
Ответ: 7

б) $(k + 17)! = 420(k + 15)!$
Область допустимых значений: $k+17 \ge 0$ и $k+15 \ge 0$, что дает $k \ge -15$. $k$ должно быть целым числом.
Представим $(k+17)!$ как $(k+17)(k+16)(k+15)!$.
Подставим это в уравнение:
$(k+17)(k+16)(k+15)! = 420(k+15)!$
Разделим обе части на $(k+15)!$ (так как $(k+15)! \ne 0$):
$(k+17)(k+16) = 420$
Раскроем скобки:
$k^2 + 16k + 17k + 272 = 420$
$k^2 + 33k + 272 - 420 = 0$
$k^2 + 33k - 148 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 33^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-148) = 1089 + 592 = 1681 = 41^2$
$k_1 = \frac{-33 + 41}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$
$k_2 = \frac{-33 - 41}{2 \cdot 1} = \frac{-74}{2} = -37$
Проверим корни по области допустимых значений ($k \ge -15$).
Корень $k_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge -15$.
Корень $k_2 = -37$ не удовлетворяет условию $-37 \ge -15$.
Ответ: 4

в) $0,125n! = (n - 1)! - 90$
Область допустимых значений: $n \ge 0$ и $n-1 \ge 0$, откуда $n \ge 1$. $n$ должно быть целым числом.
Заменим $0,125$ на дробь $\frac{1}{8}$ и представим $n!$ как $n(n-1)!$:
$\frac{1}{8}n(n-1)! = (n-1)! - 90$
Перенесем слагаемые, содержащие факториал, в одну сторону:
$90 = (n-1)! - \frac{n}{8}(n-1)!$
Вынесем $(n-1)!$ за скобки:
$90 = (n-1)! \left(1 - \frac{n}{8}\right)$
$90 = (n-1)! \left(\frac{8-n}{8}\right)$
Умножим обе части на 8:
$720 = (n-1)!(8-n)$
Решим это уравнение подбором, проверяя целые значения $n \ge 1$. Заметим, что для положительной правой части необходимо, чтобы $8-n > 0$, то есть $n < 8$. Итак, ищем $n$ среди целых чисел от 1 до 7.
При $n=1$: $(1-1)!(8-1) = 0! \cdot 7 = 1 \cdot 7 = 7 \ne 720$.
При $n=2$: $(2-1)!(8-2) = 1! \cdot 6 = 1 \cdot 6 = 6 \ne 720$.
При $n=3$: $(3-1)!(8-3) = 2! \cdot 5 = 2 \cdot 5 = 10 \ne 720$.
При $n=4$: $(4-1)!(8-4) = 3! \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \ne 720$.
При $n=5$: $(5-1)!(8-5) = 4! \cdot 3 = 24 \cdot 3 = 72 \ne 720$.
При $n=6$: $(6-1)!(8-6) = 5! \cdot 2 = 120 \cdot 2 = 240 \ne 720$.
При $n=7$: $(7-1)!(8-7) = 6! \cdot 1 = 720 \cdot 1 = 720$.
Значение $n=7$ является решением.
Ответ: 7

г) $(3x)! = 504(3x - 3)!$
Область допустимых значений: $3x \ge 0$ и $3x-3 \ge 0$. Из второго неравенства $3x \ge 3$, то есть $x \ge 1$. Также $3x$ должно быть целым числом.
Сделаем замену: пусть $m = 3x$. Тогда $m$ — целое число и $m \ge 3$. Уравнение примет вид:
$m! = 504(m-3)!$
Представим $m!$ как $m(m-1)(m-2)(m-3)!$:
$m(m-1)(m-2)(m-3)! = 504(m-3)!$
Разделим обе части на $(m-3)!$:
$m(m-1)(m-2) = 504$
Нам нужно найти три последовательных целых числа, произведение которых равно 504. Оценим корень кубический из 504: $7^3 = 343$, $8^3=512$. Числа должны быть близки к 8. Проверим числа 7, 8, 9:
$9 \cdot 8 \cdot 7 = 72 \cdot 7 = 504$.
Это означает, что самое большое из чисел, $m$, равно 9.
Итак, $m=9$.
Вернемся к замене:
$3x = 9$
$x = 3$
Проверим корень по ОДЗ: $x=3$ удовлетворяет условию $x \ge 1$, и $3x=9$ является целым числом.
Ответ: 3