Номер 47.6, страница 288, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.6. В каждую клетку квадратной таблицы $3 \times 3$ произвольно ставят крестик или нолик.

а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?

б) В скольких случаях в первом столбце будут одни крестики?

в) В скольких случаях по диагоналям будут стоять одни нолики?

г) В скольких случаях во второй строке будет стоять ровно один крестик?

а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?

Квадратная таблица размером $3 \times 3$ содержит $3 \times 3 = 9$ клеток. Для каждой из этих 9 клеток существует два варианта заполнения: крестик или нолик. Поскольку выбор для каждой клетки независим от других, общее количество способов заполнить таблицу можно найти по правилу произведения.

Для каждой из 9 клеток есть 2 варианта. Следовательно, общее число комбинаций равно:

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^9 = 512$

Ответ: 512

б) В скольких случаях в первом столбце будут одни крестики?

В первом столбце находятся 3 клетки. По условию, все они должны быть заполнены крестиками. Это означает, что для этих трех клеток существует только один способ заполнения (крестик, крестик, крестик).

Остальные клетки таблицы, не входящие в первый столбец, можно заполнять произвольно. Количество таких клеток равно $9 - 3 = 6$.

Для каждой из этих 6 клеток есть 2 варианта (крестик или нолик). Таким образом, количество способов заполнить оставшуюся часть таблицы равно $2^6$.

$2^6 = 64$

Общее число случаев равно произведению числа способов для первого столбца и числа способов для остальных клеток: $1 \times 64 = 64$.

Ответ: 64

в) В скольких случаях по диагоналям будут стоять одни нолики?

В таблице $3 \times 3$ есть две диагонали: главная и побочная.

Клетки главной диагонали: (1,1), (2,2), (3,3).

Клетки побочной диагонали: (1,3), (2,2), (3,1).

Центральная клетка (2,2) принадлежит обеим диагоналям. Таким образом, уникальных клеток, стоящих на диагоналях, всего 5: (1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,3).

По условию, все эти 5 клеток должны быть заполнены ноликами. Это фиксирует их состояние, поэтому для них существует только 1 способ заполнения.

Остальные клетки таблицы можно заполнять произвольно. Их количество: $9 - 5 = 4$.

Для каждой из этих 4 клеток есть 2 варианта (крестик или нолик). Число способов их заполнить равно $2^4$.

$2^4 = 16$

Общее число случаев: $1 \times 16 = 16$.

Ответ: 16

г) В скольких случаях во второй строке будет стоять ровно один крестик?

Рассмотрим вторую строку. Она состоит из 3 клеток.

По условию, в этой строке должен быть ровно один крестик. Это означает, что одна из трех клеток будет занята крестиком, а две другие — ноликами.

Сначала выберем позицию для крестика во второй строке. Это можно сделать $C_3^1 = \binom{3}{1}$ способами.

$\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3$

Итак, есть 3 варианта для заполнения второй строки: (X, O, O), (O, X, O) или (O, O, X).

Теперь рассмотрим остальные клетки таблицы. Это клетки первой и третьей строк. Всего таких клеток $3 + 3 = 6$.

Каждую из этих 6 клеток можно заполнить двумя способами (крестиком или ноликом). Число способов заполнить первую и третью строки равно $2^6$.

$2^6 = 64$

Чтобы найти общее количество случаев, нужно умножить число способов заполнения второй строки на число способов заполнения остальных строк:

$3 \times 2^6 = 3 \times 64 = 192$

Ответ: 192