Страница 288, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

47.5. За четверть в классе прошли пять тем по алгебре. Контрольная работа будет состоять из пяти задач: по одной задаче из каждой темы. К каждой теме заранее был составлен список из 10 задач, одна из которых будет входить в вариант контрольной. Ученик умеет решать только по 8 задач в каждой теме. Найдите:

а) общее число всех вариантов контрольной работы;

б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;

в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить;

г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.

а) общее число всех вариантов контрольной работы;
Для нахождения общего числа всех вариантов контрольной работы воспользуемся основным правилом комбинаторики — правилом умножения. Контрольная работа состоит из пяти задач, по одной из каждой из пяти тем. Для каждой темы имеется 10 задач на выбор. Поскольку выбор задачи из одной темы является независимым событием от выбора задач из других тем, мы можем перемножить количество вариантов для каждой задачи.
Количество способов выбрать задачу по теме 1: 10.
Количество способов выбрать задачу по теме 2: 10.
Количество способов выбрать задачу по теме 3: 10.
Количество способов выбрать задачу по теме 4: 10.
Количество способов выбрать задачу по теме 5: 10.
Общее число вариантов контрольной работы равно произведению этих количеств:
$N_{общ} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 = 100000$
Ответ: 100000.

б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;
Ученик умеет решать 8 задач в каждой из 10. Чтобы ученик мог решить все пять задач контрольной, каждая из них должна быть выбрана из числа тех восьми, которые он умеет решать.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по теме 1: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по теме 2: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по теме 3: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по теме 4: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по теме 5: 8.
Используя правило умножения, найдем общее число таких вариантов:
$N_{реш} = 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 8^5 = 32768$
Ответ: 32768.

в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить;
Чтобы ученик не смог решить ни одной задачи, каждая задача в варианте должна быть из числа тех, которые он решать не умеет. В каждой теме 10 задач, из которых 8 он решает. Значит, в каждой теме есть $10 - 8 = 2$ задачи, которые он решить не может.
Количество способов выбрать "нерешаемую" задачу по теме 1: 2.
Количество способов выбрать "нерешаемую" задачу по теме 2: 2.
Количество способов выбрать "нерешаемую" задачу по теме 3: 2.
Количество способов выбрать "нерешаемую" задачу по теме 4: 2.
Количество способов выбрать "нерешаемую" задачу по теме 5: 2.
Общее число вариантов, в которых ученик не может решить ни одной задачи:
$N_{нереш} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$
Ответ: 32.

г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.
В этом случае первая задача должна быть из тех, что ученик не решает, а остальные четыре — из тех, что он решает.
Количество способов выбрать "нерешаемую" задачу по первой теме: $10 - 8 = 2$.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по второй теме: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по третьей теме: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по четвертой теме: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по пятой теме: 8.
Общее число таких вариантов находим по правилу умножения:
$N_{г} = 2 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 2 \times 8^4 = 2 \times 4096 = 8192$
Ответ: 8192.

47.6. В каждую клетку квадратной таблицы $3 \times 3$ произвольно ставят крестик или нолик.

а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?

б) В скольких случаях в первом столбце будут одни крестики?

в) В скольких случаях по диагоналям будут стоять одни нолики?

г) В скольких случаях во второй строке будет стоять ровно один крестик?

а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?

Квадратная таблица размером $3 \times 3$ содержит $3 \times 3 = 9$ клеток. Для каждой из этих 9 клеток существует два варианта заполнения: крестик или нолик. Поскольку выбор для каждой клетки независим от других, общее количество способов заполнить таблицу можно найти по правилу произведения.

Для каждой из 9 клеток есть 2 варианта. Следовательно, общее число комбинаций равно:

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^9 = 512$

Ответ: 512

б) В скольких случаях в первом столбце будут одни крестики?

В первом столбце находятся 3 клетки. По условию, все они должны быть заполнены крестиками. Это означает, что для этих трех клеток существует только один способ заполнения (крестик, крестик, крестик).

Остальные клетки таблицы, не входящие в первый столбец, можно заполнять произвольно. Количество таких клеток равно $9 - 3 = 6$.

Для каждой из этих 6 клеток есть 2 варианта (крестик или нолик). Таким образом, количество способов заполнить оставшуюся часть таблицы равно $2^6$.

$2^6 = 64$

Общее число случаев равно произведению числа способов для первого столбца и числа способов для остальных клеток: $1 \times 64 = 64$.

Ответ: 64

в) В скольких случаях по диагоналям будут стоять одни нолики?

В таблице $3 \times 3$ есть две диагонали: главная и побочная.

Клетки главной диагонали: (1,1), (2,2), (3,3).

Клетки побочной диагонали: (1,3), (2,2), (3,1).

Центральная клетка (2,2) принадлежит обеим диагоналям. Таким образом, уникальных клеток, стоящих на диагоналях, всего 5: (1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,3).

По условию, все эти 5 клеток должны быть заполнены ноликами. Это фиксирует их состояние, поэтому для них существует только 1 способ заполнения.

Остальные клетки таблицы можно заполнять произвольно. Их количество: $9 - 5 = 4$.

Для каждой из этих 4 клеток есть 2 варианта (крестик или нолик). Число способов их заполнить равно $2^4$.

$2^4 = 16$

Общее число случаев: $1 \times 16 = 16$.

Ответ: 16

г) В скольких случаях во второй строке будет стоять ровно один крестик?

Рассмотрим вторую строку. Она состоит из 3 клеток.

По условию, в этой строке должен быть ровно один крестик. Это означает, что одна из трех клеток будет занята крестиком, а две другие — ноликами.

Сначала выберем позицию для крестика во второй строке. Это можно сделать $C_3^1 = \binom{3}{1}$ способами.

$\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3$

Итак, есть 3 варианта для заполнения второй строки: (X, O, O), (O, X, O) или (O, O, X).

Теперь рассмотрим остальные клетки таблицы. Это клетки первой и третьей строк. Всего таких клеток $3 + 3 = 6$.

Каждую из этих 6 клеток можно заполнить двумя способами (крестиком или ноликом). Число способов заполнить первую и третью строки равно $2^6$.

$2^6 = 64$

Чтобы найти общее количество случаев, нужно умножить число способов заполнения второй строки на число способов заполнения остальных строк:

$3 \times 2^6 = 3 \times 64 = 192$

Ответ: 192

47.7. В один день происходят выборы мэра города и префекта округа. На первую должность свои кандидатуры выставили Алкин, Балкин, Валкин, а на вторую — Эшкин, Юшкин, Яшкин.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования на выборах.

б) В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?

в) В скольких вариантах фамилии кандидатов состоят из разного числа букв?

г) Как изменятся ответы в пунктах а) и б), если учесть ещё кандидата «против всех»?

а)

Чтобы построить дерево возможных вариантов, мы должны учесть, что на каждом из двух этапов голосования (выбор мэра, затем выбор префекта) есть по 3 варианта. Для каждого выбора мэра существует 3 возможных выбора префекта.

Кандидаты в мэры: Алкин, Балкин, Валкин.

Кандидаты в префекты: Эшкин, Юшкин, Яшкин.

Дерево вариантов голосования выглядит следующим образом:

• Мэр: Алкин
  • Префект: Эшкин
  • Префект: Юшкин
  • Префект: Яшкин
• Мэр: Балкин
  • Префект: Эшкин
  • Префект: Юшкин
  • Префект: Яшкин
• Мэр: Валкин
  • Префект: Эшкин
  • Префект: Юшкин
  • Префект: Яшкин

Общее число возможных вариантов можно найти по правилу умножения: количество кандидатов в мэры умножается на количество кандидатов в префекты.

Число вариантов = $3 \times 3 = 9$.

Ответ: Дерево вариантов представлено выше. Всего существует 9 возможных вариантов голосования.

б)

Нам нужно найти все варианты, в которых присутствует кандидатура Эшкина. Эшкин является кандидатом в префекты. Это означает, что выбор префекта зафиксирован, а в качестве мэра может быть выбран любой из трех кандидатов.

Такими вариантами являются:

1. Пара (Алкин, Эшкин)
2. Пара (Балкин, Эшкин)
3. Пара (Валкин, Эшкин)

Всего получается 3 варианта.

Ответ: Кандидатура Эшкина будет в 3 вариантах.

в)

Чтобы ответить на этот вопрос, сначала посчитаем количество букв в фамилиях кандидатов:

• Алкин — 5 букв
• Балкин — 6 букв
• Валкин — 6 букв

• Эшкин — 5 букв
• Юшкин — 5 букв
• Яшкин — 5 букв

Теперь рассмотрим все возможные пары и сравним количество букв в фамилиях:

• Если мэр Алкин (5 букв), то у любого из кандидатов в префекты (Эшкин, Юшкин, Яшкин) фамилия также состоит из 5 букв. Здесь нет вариантов с разным числом букв.
• Если мэр Балкин (6 букв), то у любого из кандидатов в префекты (Эшкин, Юшкин, Яшкин) фамилия состоит из 5 букв. Во всех этих парах количество букв разное (6 и 5). Это дает 3 варианта.
• Если мэр Валкин (6 букв), то ситуация аналогична предыдущей. Количество букв в фамилии (6) отличается от количества букв в фамилиях всех кандидатов в префекты (5). Это дает еще 3 варианта.

Таким образом, общее количество вариантов, в которых фамилии кандидатов состоят из разного числа букв, равно $3 + 3 = 6$.

Ответ: В 6 вариантах фамилии кандидатов состоят из разного числа букв.

г)

При добавлении кандидата «против всех» количество вариантов выбора на каждой должности увеличивается на 1.

Теперь у нас 4 варианта для выбора мэра (Алкин, Балкин, Валкин, «против всех») и 4 варианта для выбора префекта (Эшкин, Юшкин, Яшкин, «против всех»).

Изменения для пункта а):

Дерево вариантов станет больше. У него будет 4 основные ветви (по числу вариантов выбора мэра), и от каждой из них будет отходить по 4 ветви (по числу вариантов выбора префекта). Общее число вариантов теперь будет равно $4 \times 4 = 16$.

Изменения для пункта б):

Вопрос остаётся тем же: «В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?». Выбор префекта по-прежнему зафиксирован — это Эшкин. А вот на должность мэра теперь есть 4 варианта выбора:

1. Пара (Алкин, Эшкин)
2. Пара (Балкин, Эшкин)
3. Пара (Валкин, Эшкин)
4. Пара («против всех», Эшкин)

Таким образом, количество вариантов с кандидатурой Эшкина увеличится до 4.

Ответ: В пункте а) общее число вариантов увеличится до 16. В пункте б) количество вариантов с кандидатурой Эшкина увеличится до 4.

047.8. Ученик помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс — то ли двойка, то ли тройка.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых ученику придётся выбирать ответ.

б) Сколько среди них тех, в которых индекс стоит не на втором месте?

в) Как изменится дерево вариантов, если ученик помнит, что на первом месте точно стоит H, а порядок остальных букв забыл?

г) Как изменится дерево вариантов, если буквы могут идти в любом порядке?

Ученик помнит, что буквы в формуле идут в порядке H, N, O. Ему нужно сделать два выбора:

1. Выбрать значение нижнего индекса: 2 или 3 (2 варианта).
2. Выбрать положение этого индекса: после H, после N или после O (3 варианта).

Общее количество возможных вариантов равно произведению числа выборов на каждом шаге: $2 \times 3 = 6$.

Дерево возможных вариантов можно представить следующим образом:

• Индекс 2
  • Индекс после H: $H_2NO$
  • Индекс после N: $HN_2O$
  • Индекс после O: $HNO_2$
• Индекс 3
  • Индекс после H: $H_3NO$
  • Индекс после N: $HN_3O$
  • Индекс после O: $HNO_3$ (это верная формула азотной кислоты)

Ответ: Дерево вариантов будет иметь 2 основные ветви (для индекса 2 и 3), каждая из которых разделяется на 3 подварианта в зависимости от положения индекса. Всего существует 6 возможных формул: $H_2NO$, $HN_2O$, $HNO_2$, $H_3NO$, $HN_3O$, $HNO_3$.

Второе место в последовательности букв H, N, O занимает буква N. Нам нужно найти количество вариантов, в которых индекс стоит не после N.

Варианты, в которых индекс стоит на втором месте (после N), это $HN_2O$ и $HN_3O$. Таких вариантов 2.

Всего, как мы выяснили в пункте а), существует 6 вариантов. Значит, количество вариантов, где индекс стоит не на втором месте, равно:

$6 - 2 = 4$

Это варианты, где индекс стоит на первом месте ($H_2NO$, $H_3NO$) или на третьем месте ($HNO_2$, $HNO_3$).

Ответ: 4.

В этом случае ученик помнит, что первая буква — H, но не помнит порядок следующих двух (N и O). Это означает, что есть два возможных порядка букв:

1. H, N, O
2. H, O, N

Для каждого из этих порядков по-прежнему есть 2 варианта индекса (2 или 3) и 3 варианта его положения. Таким образом, общее количество вариантов увеличивается вдвое по сравнению с пунктом а).

Общее количество вариантов: (число порядков букв) $\times$ (число вариантов индекса) $\times$ (число положений индекса) = $2 \times 2 \times 3 = 12$.

Дерево вариантов изменится — в нём появится новый, верхний уровень ветвления, соответствующий выбору порядка букв. Первая часть дерева будет такой же, как в пункте а), а вторая будет выглядеть так:

• Порядок букв H, O, N
  • Индекс 2
    • Индекс после H: $H_2ON$
    • Индекс после O: $HO_2N$
    • Индекс после N: $HON_2$
  • Индекс 3
    • Индекс после H: $H_3ON$
    • Индекс после O: $HO_3N$
    • Индекс после N: $HON_3$

Ответ: Дерево вариантов станет в два раза больше. В нём появится дополнительный уровень ветвления, соответствующий двум возможным порядкам букв (HNO и HON). Общее количество вариантов станет $2 \times 2 \times 3 = 12$.

Если буквы могут идти в любом порядке, то сначала нужно определить количество возможных перестановок букв H, N, O. Число перестановок из 3-х элементов равно $3!$ (3 факториал).

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Возможные порядки букв: HNO, HON, NHO, NOH, OHN, ONH.

Для каждого из этих 6 порядков букв, как и раньше, есть 2 варианта индекса и 3 варианта его положения. Таким образом, общее количество вариантов рассчитывается как:

(число порядков букв) $\times$ (число вариантов индекса) $\times$ (число положений индекса) = $6 \times 2 \times 3 = 36$.

Дерево вариантов сильно разрастётся. По сравнению с первоначальным деревом из пункта а), которое соответствовало всего одному порядку букв (HNO), новое дерево будет в 6 раз больше.

Ответ: Дерево вариантов станет в 6 раз больше, чем в пункте а). Его первый уровень ветвления будет состоять из $3! = 6$ вариантов порядка букв. Общее количество вариантов станет $6 \times 2 \times 3 = 36$.