Номер 47.4, страница 287, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.4. На кусок белого, чёрного или ржаного хлеба можно положить сыр, колбасу или масло. Бутерброд можно запить чаем, кофе, молоком или кефиром, а после этого или погулять, или пойти в гости, или остаться дома.

а) Найдите общее число вариантов начала выходного дня.

б) В скольких случаях будет выпит молочный напиток?

в) Каков будет ответ в пункте а), если в доме привыкли масло мазать только на белый хлеб?

г) Каков будет ответ в пункте а), если хлеб надо сначала купить в одном из трёх ближайших магазинов?

Для решения задачи используется комбинаторное правило умножения, согласно которому, если объект $A_1$ можно выбрать $n_1$ способами, после каждого такого выбора объект $A_2$ можно выбрать $n_2$ способами, ..., и после каждого выбора объектов $A_1, ..., A_{k-1}$ объект $A_k$ можно выбрать $n_k$ способами, то последовательность объектов $(A_1, A_2, ..., A_k)$ можно выбрать $N = n_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k$ способами.

а) Найдите общее число вариантов начала выходного дня.

В данном случае у нас есть четыре независимых выбора:

• Выбор хлеба: белый, чёрный или ржаной (3 варианта).
• Выбор начинки: сыр, колбаса или масло (3 варианта).
• Выбор напитка: чай, кофе, молоко или кефир (4 варианта).
• Выбор занятия: погулять, пойти в гости или остаться дома (3 варианта).

Чтобы найти общее число вариантов, нужно перемножить количество вариантов для каждого выбора:

$N_{общ} = 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 = 108$

Ответ: 108

б) В скольких случаях будет выпит молочный напиток?

Сначала определим, какие напитки являются молочными. Из списка (чай, кофе, молоко, кефир) молочными являются молоко и кефир. Таким образом, у нас есть 2 варианта выбора молочного напитка.

Количество вариантов для остальных выборов остается прежним:

• Выбор хлеба: 3 варианта.
• Выбор начинки: 3 варианта.
• Выбор молочного напитка: 2 варианта.
• Выбор занятия: 3 варианта.

Перемножим количество этих вариантов:

$N_{мол} = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 54$

Ответ: 54

в) Каков будет ответ в пункте а), если в доме привыкли масло мазать только на белый хлеб?

Это условие изменяет количество возможных комбинаций бутербродов, так как выбор начинки теперь зависит от выбора хлеба. Рассчитаем количество вариантов бутербродов:

• Если выбран белый хлеб, на него можно положить любую из 3 начинок (сыр, колбаса, масло).
• Если выбран чёрный хлеб, на него можно положить 2 начинки (сыр, колбаса).
• Если выбран ржаной хлеб, на него также можно положить 2 начинки (сыр, колбаса).

Общее количество вариантов бутербродов: $3 + 2 + 2 = 7$ вариантов.

Теперь умножим это количество на число вариантов для остальных выборов (напиток и занятие):

$N_{общ.в} = 7 \cdot 4 \cdot 3 = 84$

Ответ: 84

г) Каков будет ответ в пункте а), если хлеб надо сначала купить в одном из трёх ближайших магазинов?

К исходной последовательности выборов из пункта а) добавляется ещё один независимый выбор — выбор магазина. Есть 3 варианта выбора магазина.

Таким образом, общее количество вариантов будет произведением количества вариантов выбора магазина и результата, полученного в пункте а):

$N_{общ.г} = (\text{выбор магазина}) \cdot (\text{варианты из пункта а})$

$N_{общ.г} = 3 \cdot 108 = 324$

Или можно перемножить все варианты заново:

$N_{общ.г} = (\text{магазин}) \cdot (\text{хлеб}) \cdot (\text{начинка}) \cdot (\text{напиток}) \cdot (\text{занятие}) = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 = 324$

Ответ: 324