Номер 48.2, страница 292, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.2. Каждую из $n$ точек, являющихся вершинами выпуклого $n$-угольника, соединили отрезками с каждой другой вершиной.

a) Сколько провели отрезков?

б) Сколько провели диагоналей?

в) Сколько есть двухзвенных ломаных, соединяющих вершину $A$ с вершиной $B$?

г) Сколько есть трёхзвенных ломаных, соединяющих вершину $A$ с вершиной $B$ (самопересекающиеся ломаные допускаются)?

а) Каждую из n вершин выпуклого n-угольника соединили отрезками с каждой другой вершиной. Чтобы найти общее количество таких отрезков, нужно посчитать, сколькими способами можно выбрать две вершины из n имеющихся. Порядок вершин в паре не важен (отрезок между вершинами А и В — это тот же отрезок, что и между В и А), поэтому задача сводится к нахождению числа сочетаний из n по 2.

Формула для числа сочетаний из n элементов по k выглядит следующим образом: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае, поскольку каждый отрезок определяется двумя вершинами, $k=2$. Подставляем это значение в формулу:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$.

б) Общее количество отрезков, соединяющих все возможные пары вершин n-угольника, как мы выяснили в пункте а), равно $\frac{n(n-1)}{2}$. Эти отрезки делятся на два типа: стороны многоугольника и его диагонали. Диагональ — это отрезок, который соединяет две несмежные вершины.

У выпуклого n-угольника ровно n сторон. Чтобы найти количество диагоналей, необходимо из общего числа отрезков вычесть количество сторон.

Количество диагоналей = (Общее количество отрезков) ? (Количество сторон) = $\frac{n(n-1)}{2} - n$.

Теперь упростим полученное выражение:

$\frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n^2-n}{2} - \frac{2n}{2} = \frac{n^2-n-2n}{2} = \frac{n^2-3n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$.

в) Двузвенная ломаная, соединяющая вершину А с вершиной В, представляет собой путь вида А–С–В, где С — это некоторая другая вершина многоугольника. Первое звено ломаной — это отрезок АС, а второе — отрезок СВ.

Промежуточная вершина С должна быть отлична от начальной (А) и конечной (В) вершин. В противном случае, если бы С совпадала с А или В, ломаная состояла бы из одного отрезка или была бы вырожденной. Таким образом, для выбора вершины С можно использовать любую из n вершин многоугольника, за исключением А и В.

Следовательно, количество возможных вариантов для выбора вершины С равно $n-2$. Каждый такой выбор определяет уникальную двузвенную ломаную.

Ответ: $n-2$.

г) Трёхзвенная ломаная, соединяющая вершину А с вершиной В, — это последовательность из четырёх вершин A, C, D, B, которые образуют три отрезка: АС, CD и DB. Это накладывает следующие ограничения: $C \neq A$, $D \neq C$ и $B \neq D$. Условие о том, что самопересекающиеся ломаные допускаются, означает, что вершины в последовательности могут повторяться. Например, возможен путь A–C–A–B (где $D=A$).

Чтобы подсчитать общее число таких ломаных, нужно перебрать все возможные пары промежуточных вершин (C, D). Рассмотрим все варианты выбора для первой промежуточной вершины C. Она может быть любой из n вершин, кроме А, то есть для C существует $n-1$ вариант. Разделим эти варианты на два взаимоисключающих случая.

Случай 1: Первая промежуточная вершина С совпадает с конечной вершиной В.

Этот выбор для С возможен только одним способом. Ломаная в этом случае имеет вид A–B–D–B. Вторая промежуточная вершина D должна быть отлична от предыдущей вершины в пути, то есть от B ($D \neq B$). Никаких других ограничений на D нет, она может быть любой из оставшихся $n-1$ вершин (включая A). Следовательно, в этом случае существует $1 \times (n-1) = n-1$ различных ломаных.

Случай 2: Первая промежуточная вершина С не совпадает с вершиной В.

Поскольку C также не может совпадать с А, для выбора С остается $n-2$ варианта. Ломаная имеет вид A–C–D–B. Вторая промежуточная вершина D должна быть отлична от предыдущей вершины C ($D \neq C$) и от конечной вершины B ($B \neq D$). Таким образом, для выбора D есть $n-2$ возможных варианта (любая вершина, кроме C и B). Число ломаных в этом случае равно произведению числа выборов для C и D: $(n-2) \times (n-2) = (n-2)^2$.

Общее количество трёхзвенных ломаных равно сумме количеств, полученных в этих двух случаях:

Количество ломаных = (количество из случая 1) + (количество из случая 2) = $(n-1) + (n-2)^2$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(n-1) + (n^2 - 4n + 4) = n^2 - 3n + 3$.

Ответ: $n^2-3n+3$.