Номер 48.12, страница 293, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.12. a) $C_x^3 = A_x^2$;

б) $C_x^4 = A_x^3$;

В) $C_x^4 = A_x^3 + C_x^3$;

Г) $0,5A_x^4 = 3(A_{x-1}^3 + C_{x-1}^3)$.

а) $C_x^3 = A_x^2$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условиями $x \geq 3$ (для $C_x^3$) и $x \geq 2$ (для $A_x^2$). Следовательно, $x$ должен быть целым числом, и $x \geq 3$.

Запишем уравнение, используя определения:

$\frac{x!}{3!(x-3)!} = \frac{x!}{(x-2)!}$

Распишем факториалы, чтобы упростить выражение:

$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!}$

$\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = x(x-1)$

Так как из ОДЗ следует, что $x \geq 3$, то $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x(x-1)$:

$\frac{x-2}{6} = 1$

$x-2 = 6$

$x = 8$

Полученное значение $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 \geq 3$).

Ответ: $x=8$.

б) $C_x^4 = A_x^3$

Определим ОДЗ: для $C_x^4$ требуется $x \geq 4$, для $A_x^3$ требуется $x \geq 3$. Объединяя условия, получаем, что $x$ - целое число и $x \geq 4$.

Запишем уравнение в развернутом виде:

$\frac{x!}{4!(x-4)!} = \frac{x!}{(x-3)!}$

$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = x(x-1)(x-2)$

$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24} = x(x-1)(x-2)$

Поскольку $x \geq 4$, то множитель $x(x-1)(x-2)$ не равен нулю, и мы можем на него сократить:

$\frac{x-3}{24} = 1$

$x-3 = 24$

$x = 27$

Значение $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($27 \geq 4$).

Ответ: $x=27$.

в) $C_x^4 = A_x^3 + C_x^3$

ОДЗ для этого уравнения: $x \geq 4$ (для $C_x^4$), $x \geq 3$ (для $A_x^3$), $x \geq 3$ (для $C_x^3$). Следовательно, $x$ - целое число и $x \geq 4$.

Подставляем формулы в уравнение:

$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24} = x(x-1)(x-2) + \frac{x(x-1)(x-2)}{6}$

В ОДЗ ($x \geq 4$) выражение $x(x-1)(x-2)$ отлично от нуля, поэтому разделим обе части уравнения на него:

$\frac{x-3}{24} = 1 + \frac{1}{6}$

$\frac{x-3}{24} = \frac{7}{6}$

Умножим обе части на 24:

$x-3 = \frac{7}{6} \cdot 24$

$x-3 = 7 \cdot 4$

$x-3 = 28$

$x = 31$

Значение $x=31$ удовлетворяет ОДЗ ($31 \geq 4$).

Ответ: $x=31$.

г) $0,5A_x^4 = 3(A_{x-1}^3 + C_{x-1}^3)$

Определим ОДЗ. Для $A_x^4$ нужно $x \geq 4$. Для $A_{x-1}^3$ нужно $x-1 \geq 3 \implies x \geq 4$. Для $C_{x-1}^3$ нужно $x-1 \geq 3 \implies x \geq 4$. Итоговое ОДЗ: $x$ - целое число и $x \geq 4$.

Запишем уравнение, используя определения:

$0,5 \cdot x(x-1)(x-2)(x-3) = 3 \left( (x-1)(x-2)(x-3) + \frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6} \right)$

Вынесем общий множитель $(x-1)(x-2)(x-3)$ в правой части:

$0,5 \cdot x(x-1)(x-2)(x-3) = 3 \cdot (x-1)(x-2)(x-3) \left( 1 + \frac{1}{6} \right)$

$0,5 \cdot x(x-1)(x-2)(x-3) = 3 \cdot (x-1)(x-2)(x-3) \cdot \frac{7}{6}$

Поскольку $x \geq 4$, множитель $(x-1)(x-2)(x-3)$ не равен нулю, на него можно сократить:

$0,5x = 3 \cdot \frac{7}{6}$

$0,5x = \frac{7}{2}$

$0,5x = 3,5$

Умножим обе части на 2:

$x = 7$

Значение $x=7$ удовлетворяет ОДЗ ($7 \geq 4$).

Ответ: $x=7$.