Номер 49.11, страница 299, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.11. У каждого из туристов есть или тугрики, или «еврики».

У 100 туристов есть только тугрики, у 38 туристов есть только «еврики», а у $31\%$ туристов есть обе валюты.

a) Сколько всего было туристов?

б) Сколько туристов имеют тугрики?

в) Сколько туристов имеют «еврики»?

г) Измените в условии задачи $31\%$ так, чтобы ответ в пункте а) стал наибольшим из всех возможных.

а) Пусть $X$ — общее количество туристов. Согласно условию задачи:

• 100 туристов имеют только тугрики.
• 38 туристов имеют только «еврики».
• 31% от общего числа туристов имеют обе валюты, что составляет $0.31X$.

Поскольку у каждого туриста есть хотя бы одна из валют, общее число туристов равно сумме этих трёх групп. Составим и решим уравнение:

$X = 100 + 38 + 0.31X$

$X - 0.31X = 138$

$0.69X = 138$

$X = \frac{138}{0.69} = \frac{13800}{69} = 200$

Таким образом, всего было 200 туристов.

Ответ: 200 туристов.

б) Число туристов, имеющих тугрики, — это сумма тех, у кого есть только тугрики, и тех, у кого есть обе валюты. Сначала вычислим количество туристов с обеими валютами:

$0.31 \times 200 = 62$ туриста.

Теперь найдём общее количество туристов с тугриками:

$100 (\text{только тугрики}) + 62 (\text{обе валюты}) = 162$ туриста.

Ответ: 162 туриста.

в) Число туристов, имеющих «еврики», — это сумма тех, у кого есть только «еврики», и тех, у кого есть обе валюты. Мы уже знаем, что обе валюты есть у 62 туристов.

Найдём общее количество туристов с «евриками»:

$38 (\text{только «еврики»}) + 62 (\text{обе валюты}) = 100$ туристов.

Ответ: 100 туристов.

г) Пусть новый процент равен $p$. Тогда уравнение для нахождения общего числа туристов $X$ будет выглядеть так:

$X = 100 + 38 + \frac{p}{100}X$

Выразим $X$ из этого уравнения:

$X - \frac{p}{100}X = 138$

$X \left(1 - \frac{p}{100}\right) = 138$

$X \left(\frac{100 - p}{100}\right) = 138$

$X = \frac{13800}{100 - p}$

Чтобы значение $X$ было наибольшим, знаменатель $(100 - p)$ должен быть наименьшим возможным положительным числом. Процент $p$ должен быть меньше 100, иначе знаменатель станет нулевым или отрицательным. Таким образом, $0 \le p < 100$, а $100 - p > 0$.

Так как число туристов $X$ должно быть целым, знаменатель $(100 - p)$ должен быть делителем числа 13800. Чтобы максимизировать $X$, нужно минимизировать знаменатель. Наименьший натуральный делитель любого числа — это 1.

Примем знаменатель равным 1:

$100 - p = 1$

$p = 99$

Следовательно, для получения наибольшего возможного числа туристов, процент нужно изменить на 99%. В этом случае общее количество туристов составит $X = \frac{13800}{1} = 13800$.

Ответ: 31% нужно изменить на 99%.