Номер 49.18, страница 300, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.18. В тёмном ящике $n$ выигрышных билетов и $n$ проигрышных, $n > 2$. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета.

а) Найдите вероятность того, что есть ровно один проигрышный билет.

б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом $n$.

в) К какому числу стремится эта вероятность при $n \rightarrow \infty$?

г) Найдите наименьшее $n$, начиная с которого эта вероятность будет меньше $0,4$.

а) Найдите вероятность того, что есть ровно один проигрышный билет.

Всего в ящике находится $2n$ билетов ($n$ выигрышных и $n$ проигрышных). Мы вытаскиваем одновременно 3 билета. Общее число способов выбрать 3 билета из $2n$ равно числу сочетаний $C_{2n}^3$.

$C_{2n}^3 = \frac{(2n)!}{3!(2n-3)!} = \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{2n(2n-1)2(n-1)}{6} = \frac{2n(n-1)(2n-1)}{3}$.

Нас интересует событие, при котором вытащен ровно один проигрышный билет. Это означает, что два других билета должны быть выигрышными. Число способов выбрать 1 проигрышный билет из $n$ проигрышных равно $C_n^1 = n$. Число способов выбрать 2 выигрышных билета из $n$ выигрышных равно $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов равно произведению числа способов выбора проигрышного и выигрышных билетов: $C_n^1 \cdot C_n^2 = n \cdot \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2(n-1)}{2}$.

Вероятность $P(n)$ этого события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(n) = \frac{C_n^1 \cdot C_n^2}{C_{2n}^3} = \frac{\frac{n^2(n-1)}{2}}{\frac{2n(n-1)(2n-1)}{3}} = \frac{n^2(n-1)}{2} \cdot \frac{3}{2n(n-1)(2n-1)}$.

Поскольку по условию $n > 2$, то $n \neq 0$ и $n-1 \neq 0$. Мы можем сократить дробь на $n$ и $(n-1)$:

$P(n) = \frac{3n}{2 \cdot 2(2n-1)} = \frac{3n}{4(2n-1)}$.

Ответ: $\frac{3n}{4(2n-1)}$

б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом n.

Нам нужно доказать, что функция $P(n) = \frac{3n}{4(2n-1)}$ является убывающей для натуральных чисел $n > 2$. Для этого докажем, что $P(n+1) < P(n)$ для всех $n > 2$.

Выразим $P(n+1)$: $P(n+1) = \frac{3(n+1)}{4(2(n+1)-1)} = \frac{3(n+1)}{4(2n+1)}$.

Теперь составим неравенство $P(n+1) < P(n)$: $\frac{3(n+1)}{4(2n+1)} < \frac{3n}{4(2n-1)}$.

Можно разделить обе части на положительное число $\frac{3}{4}$, знак неравенства при этом не изменится: $\frac{n+1}{2n+1} < \frac{n}{2n-1}$.

Так как $n > 2$, оба знаменателя $(2n+1)$ и $(2n-1)$ являются положительными числами. Мы можем умножить обе части неравенства на их произведение $(2n+1)(2n-1)$, не меняя знака неравенства: $(n+1)(2n-1) < n(2n+1)$.

Раскроем скобки в обеих частях: $2n^2 - n + 2n - 1 < 2n^2 + n$, $2n^2 + n - 1 < 2n^2 + n$.

Вычтем $2n^2 + n$ из обеих частей неравенства: $-1 < 0$.

Полученное неравенство является верным. Следовательно, исходное неравенство $P(n+1) < P(n)$ также верно для всех $n > 2$, что и доказывает, что вероятность убывает с ростом $n$.

Ответ: Доказано, что вероятность убывает с ростом $n$.

в) К какому числу стремится эта вероятность при n → ∞?

Нам нужно найти предел функции $P(n)$ при $n$, стремящемся к бесконечности:

$\lim_{n \to \infty} P(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{4(2n-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{8n-4}$.

Для нахождения предела разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n}}{\frac{8n}{n}-\frac{4}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{8-\frac{4}{n}}$.

Поскольку $\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0$, предел равен: $\frac{3}{8-0} = \frac{3}{8} = 0,375$.

Ответ: $0,375$

г) Найдите наименьшее n, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,4.

Нам нужно решить неравенство $P(n) < 0,4$ для целых $n > 2$.

$\frac{3n}{4(2n-1)} < 0,4$ $\frac{3n}{4(2n-1)} < \frac{4}{10}$ $\frac{3n}{4(2n-1)} < \frac{2}{5}$.

Так как $n>2$, знаменатель $4(2n-1)$ всегда положителен. Умножим обе части неравенства на $20(2n-1)$, чтобы избавиться от дробей: $5 \cdot 3n < 2 \cdot 4(2n-1)$ $15n < 8(2n-1)$ $15n < 16n - 8$.

Перенесем слагаемые с $n$ в одну сторону, а числа - в другую: $8 < 16n - 15n$ $8 < n$.

Неравенство выполняется для всех целых чисел $n$, которые строго больше 8. Наименьшее такое целое число — это 9. Данное значение удовлетворяет начальному условию $n > 2$.

Ответ: $9$