Номер 49.25, страница 301, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.25. a) Какова вероятность того, что при $n$ бросаниях монеты решка выпадет хотя бы один раз?

б) Как меняется эта вероятность с изменением $n$?

в) Найдите предел этой вероятности при $n \rightarrow \infty$.

г) При каком наименьшем $n$ вероятность появления хотя бы одной решки будет больше 0,999?

а)

Для решения этой задачи удобнее использовать метод от противного. Найдем вероятность противоположного события A', которое заключается в том, что при $n$ бросаниях монеты решка не выпадет ни разу. Это означает, что все $n$ раз выпадет орёл.

Вероятность выпадения орла при одном бросании монеты равна $1/2$. Поскольку броски являются независимыми событиями, вероятность того, что орёл выпадет $n$ раз подряд, равна произведению вероятностей каждого из этих событий:

$P(A') = (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{2^n}$

Событие A, "решка выпадет хотя бы один раз", является противоположным событию A'. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно, искомая вероятность $P(A)$ равна:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{2^n}$

Ответ: $1 - \frac{1}{2^n}$

б)

Рассмотрим полученную вероятность $P(n) = 1 - \frac{1}{2^n}$ как функцию от числа бросков $n$.

С увеличением $n$, знаменатель $2^n$ растет. Следовательно, дробь $\frac{1}{2^n}$ уменьшается и стремится к нулю. Так как мы вычитаем эту уменьшающуюся величину из 1, результат $P(n)$ будет увеличиваться.

Например:

• При $n=1$, $P(1) = 1 - 1/2 = 0.5$
• При $n=2$, $P(2) = 1 - 1/4 = 0.75$
• При $n=3$, $P(3) = 1 - 1/8 = 0.875$

Таким образом, с увеличением числа бросков $n$ вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз, увеличивается, приближаясь к 1.

Ответ: С увеличением $n$ эта вероятность возрастает.

в)

Нужно найти предел вероятности $P(n) = 1 - \frac{1}{2^n}$ при $n$, стремящемся к бесконечности ($n \to \infty$).

$\lim_{n \to \infty} P(n) = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2^n})$

Используя свойство предела разности, получаем:

$\lim_{n \to \infty} 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}$

Предел константы равен самой константе, то есть $\lim_{n \to \infty} 1 = 1$.

При $n \to \infty$, знаменатель $2^n$ стремится к бесконечности, следовательно, вся дробь $\frac{1}{2^n}$ стремится к 0.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$

Таким образом, искомый предел равен:

$1 - 0 = 1$

Ответ: 1

г)

Требуется найти наименьшее натуральное число $n$, при котором вероятность появления хотя бы одной решки будет больше 0,999. Составим неравенство:

$P(n) > 0.999$

$1 - \frac{1}{2^n} > 0.999$

Решим это неравенство относительно $n$:

$1 - 0.999 > \frac{1}{2^n}$

$0.001 > \frac{1}{2^n}$

$\frac{1}{1000} > \frac{1}{2^n}$

Так как обе части неравенства положительны, мы можем взять обратные величины, изменив знак неравенства на противоположный:

$1000 < 2^n$

Теперь подберем наименьшее целое $n$, удовлетворяющее этому неравенству. Рассмотрим степени двойки:

• $2^9 = 512$ (не удовлетворяет, так как $1000 \not< 512$)
• $2^{10} = 1024$ (удовлетворяет, так как $1000 < 1024$)

Следовательно, наименьшее значение $n$, при котором выполняется условие, равно 10.

Ответ: 10