Номер 49.28, страница 301, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.28. Буквы русского алфавита написаны на карточках. Вы случайно вытаскиваете одну карточку, читаете букву, возвращаете карточку и повторяете выбор. Как только появится гласная буква — процедура заканчивается. (В русском алфавите 33 буквы, из них 10 гласных.)

а) Какова вероятность того, что никаких повторений не потребуется?

б) Какова вероятность того, что хватит двух повторений?

в) Какова вероятность того, что хватит именно $n$ повторений?

г) Найдите предел этой вероятности при $n \rightarrow \infty$.

Для решения задачи определим основные вероятности. В русском алфавите 33 буквы, из них 10 гласных и, следовательно, $33 - 10 = 23$ согласные. Карточку после каждого вытаскивания возвращают, поэтому каждое вытаскивание (испытание) является независимым.

Пусть событие В — «вытащили гласную букву», а событие С — «вытащили согласную букву».

Вероятность вытащить гласную букву: $P(В) = \frac{10}{33}$.

Вероятность вытащить согласную букву: $P(С) = \frac{23}{33}$.

Процедура заканчивается, как только появляется гласная буква.

а) Какова вероятность того, что никаких повторений не потребуется?

Событие «никаких повторений не потребуется» означает, что процедура закончится на первом же шаге. Это произойдет, если первая вытащенная буква окажется гласной.

Вероятность этого события равна вероятности вытащить гласную букву:

$P_1 = P(В) = \frac{10}{33}$

Ответ: $\frac{10}{33}$.

б) Какова вероятность того, что хватит двух повторений?

Событие «хватит двух повторений» означает, что процедура завершится не позднее, чем после двух повторений. Это соответствует 1-му, 2-му или 3-му вытаскиванию.

• Процедура завершится на 1-м шаге, если будет вытащена гласная (В). Вероятность: $P(В) = \frac{10}{33}$.
• Процедура завершится на 2-м шаге, если сначала будет вытащена согласная, а затем гласная (СВ). Вероятность: $P(С) \cdot P(В) = \frac{23}{33} \cdot \frac{10}{33}$.
• Процедура завершится на 3-м шаге, если сначала будут вытащены две согласные, а затем гласная (ССВ). Вероятность: $P(С)^2 \cdot P(В) = \left(\frac{23}{33}\right)^2 \cdot \frac{10}{33}$.

Так как эти события несовместны, общая вероятность равна сумме их вероятностей:

$P = \frac{10}{33} + \frac{23}{33} \cdot \frac{10}{33} + \left(\frac{23}{33}\right)^2 \cdot \frac{10}{33} = \frac{10}{33} \left(1 + \frac{23}{33} + \left(\frac{23}{33}\right)^2\right)$

Это сумма первых трех членов геометрической прогрессии. Проще рассчитать вероятность противоположного события: «процедура не завершится за три шага». Это произойдет, если все три раза будут вытащены согласные буквы (ССС). Вероятность этого $P(ССС) = P(С)^3 = \left(\frac{23}{33}\right)^3$.

Тогда искомая вероятность равна $1 - P(ССС)$:

$P = 1 - \left(\frac{23}{33}\right)^3 = 1 - \frac{23^3}{33^3} = 1 - \frac{12167}{35937} = \frac{35937 - 12167}{35937} = \frac{23770}{35937}$

Ответ: $\frac{23770}{35937}$.

в) Какова вероятность того, что хватит именно n повторений?

Событие «хватит именно n повторений» означает, что процедура завершится ровно на $(n+1)$-м шаге (первое вытаскивание + $n$ повторений). Это произойдет, если первые $n$ раз будут вытащены согласные буквы, а на $(n+1)$-й раз — гласная.

Последовательность исходов: С, С, ..., С (n раз), В.

Вероятность такого события, учитывая независимость испытаний, равна произведению вероятностей:

$P_n = \underbrace{P(С) \cdot P(С) \cdot \ldots \cdot P(С)}_{n \text{ раз}} \cdot P(В) = (P(С))^n \cdot P(В) = \left(\frac{23}{33}\right)^n \cdot \frac{10}{33}$

Ответ: $\left(\frac{23}{33}\right)^n \frac{10}{33}$.

г) Найдите предел этой вероятности при n > ?.

Требуется найти предел вероятности, найденной в пункте (в), при $n$, стремящемся к бесконечности.

$\lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} \left[ \left(\frac{23}{33}\right)^n \cdot \frac{10}{33} \right]$

Так как основание степени $r = \frac{23}{33}$ удовлетворяет условию $0 < r < 1$, предел степенной функции $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$.

Следовательно, искомый предел равен:

$\lim_{n \to \infty} \left[ \left(\frac{23}{33}\right)^n \cdot \frac{10}{33} \right] = \frac{10}{33} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\frac{23}{33}\right)^n = \frac{10}{33} \cdot 0 = 0$

Это означает, что вероятность того, что для появления гласной буквы потребуется бесконечно большое число попыток, равна нулю.

Ответ: 0.