Номер 49.29, страница 302, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.29. Стрелок не очень меток: вероятность того, что он попадёт в мишень одним выстрелом, равна всего 0,1. Независимо от предыдущих промахов он повторяет выстрелы до первого попадания и после этого прекращает стрельбу.

а) Какова вероятность $p(n)$ того, что ему хватит именно $n$ выстрелов?

б) Найдите предел этой вероятности при $n \to \infty$.

в) Численные результаты для $n = 1, 2, 3, ..., 7$ соберите в таблицу.

г) Найдите предел суммы $p(1) + p(2) + ... + p(n)$ при $n \to \infty$.

а) Для того чтобы стрелку понадобилось ровно $n$ выстрелов, необходимо, чтобы первые $n-1$ выстрелов были промахами, а $n$-й выстрел — попаданием.
Обозначим вероятность попадания как $p$, а вероятность промаха как $q$. По условию, $p = 0,1$.
Вероятность промаха будет $q = 1 - p = 1 - 0,1 = 0,9$.
Так как все выстрелы являются независимыми событиями, вероятность искомой последовательности событий ( $n-1$ промахов и одно попадание) можно найти, перемножив вероятности каждого из них:
$p(n) = \underbrace{q \cdot q \cdot \ldots \cdot q}_{n-1} \cdot p = q^{n-1} \cdot p$.
Подставив числовые значения, получаем искомую вероятность $p(n)$:
$p(n) = 0,9^{n-1} \cdot 0,1$.
Ответ: $p(n) = 0,1 \cdot 0,9^{n-1}$.

б) Найдем предел вероятности $p(n)$ при $n \to \infty$:
$\lim_{n\to\infty} p(n) = \lim_{n\to\infty} (0,1 \cdot 0,9^{n-1})$.
Так как основание степени $0,9$ меньше единицы по модулю ($|0,9| < 1$), то предел выражения $0,9^{n-1}$ при $n \to \infty$ равен нулю:
$\lim_{n\to\infty} 0,9^{n-1} = 0$.
Следовательно, искомый предел равен:
$\lim_{n\to\infty} p(n) = 0,1 \cdot 0 = 0$.
Ответ: $0$.

в) Рассчитаем численные значения вероятности $p(n)$ для $n$ от 1 до 7, используя выведенную формулу $p(n) = 0,1 \cdot 0,9^{n-1}$:
$p(1) = 0,1 \cdot 0,9^{0} = 0,1 \cdot 1 = 0,1$
$p(2) = 0,1 \cdot 0,9^{1} = 0,09$
$p(3) = 0,1 \cdot 0,9^{2} = 0,1 \cdot 0,81 = 0,081$
$p(4) = 0,1 \cdot 0,9^{3} = 0,1 \cdot 0,729 = 0,0729$
$p(5) = 0,1 \cdot 0,9^{4} = 0,1 \cdot 0,6561 = 0,06561$
$p(6) = 0,1 \cdot 0,9^{5} = 0,1 \cdot 0,59049 = 0,059049$
$p(7) = 0,1 \cdot 0,9^{6} = 0,1 \cdot 0,531441 = 0,0531441$

Ответ: Результаты, собранные в таблицу:

г) Требуется найти предел суммы $S_n = p(1) + p(2) + \ldots + p(n)$ при $n \to \infty$. Эта сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, так как ее знаменатель $r = 0,9$ удовлетворяет условию $|r| < 1$.
Первый член прогрессии $a_1 = p(1) = 0,1$.
Сумму можно найти по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{a_1}{1 - r}$.
$S = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} p(k) = \frac{0,1}{1 - 0,9} = \frac{0,1}{0,1} = 1$.
Это означает, что вероятность того, что стрелок когда-нибудь попадет в мишень (т.е. ему хватит конечного числа выстрелов), равна 1. Это событие является достоверным.
Ответ: $1$.