Номер 49.26, страница 301, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

○49.26. Три ученика независимо друг от друга написали по одной цифре от $0$ до $9$. Какова вероятность того, что среди написанных цифр:

а) не будет ни одной цифры $0$;

б) будет хотя бы одна цифра $5$;

в) не будет ни одной чётной цифры;

г) будет хотя бы одна нечётная цифра?

Общее число возможных цифр для выбора — 10 (от 0 до 9). Поскольку три ученика независимо друг от друга выбирают по одной цифре, общее число всех возможных комбинаций из трех цифр (исходов) находится как $N = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$. Будем считать все эти исходы равновероятными.

а) не будет ни одной цифры 0;

Пусть событие A заключается в том, что ни один из учеников не написал цифру 0. Это означает, что каждый ученик должен был выбрать любую цифру из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. В этом множестве 9 цифр. Так как выбор учеников независим, число благоприятных для события A исходов равно $m_a = 9 \times 9 \times 9 = 9^3 = 729$. Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{729}{1000} = 0,729$.
Ответ: 0,729

б) будет хотя бы одна цифра 5;

Пусть событие B заключается в том, что хотя бы один ученик написал цифру 5. Проще найти вероятность противоположного события $\bar{B}$, которое состоит в том, что ни один из учеников не написал цифру 5. Для наступления события $\bar{B}$ каждый ученик должен выбрать цифру из множества {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}, в котором 9 цифр. Число исходов, благоприятствующих событию $\bar{B}$, равно $m_{\bar{B}} = 9 \times 9 \times 9 = 9^3 = 729$. Вероятность события $\bar{B}$ равна $P(\bar{B}) = \frac{m_{\bar{B}}}{N} = \frac{729}{1000} = 0,729$. Поскольку события B и $\bar{B}$ противоположны, сумма их вероятностей равна 1. Следовательно, вероятность события B равна: $P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0,729 = 0,271$.
Ответ: 0,271

в) не будет ни одной чётной цифры;

Пусть событие C заключается в том, что среди написанных цифр нет ни одной чётной. Это эквивалентно тому, что все три ученика написали нечётные цифры. Множество нечётных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}. Всего 5 нечётных цифр. Каждый из трех учеников должен выбрать одну из этих 5 цифр. Число благоприятных исходов равно $m_c = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$. Вероятность события C равна: $P(C) = \frac{m_c}{N} = \frac{125}{1000} = 0,125$.
Ответ: 0,125

г) будет хотя бы одна нечётная цифра?

Пусть событие D заключается в том, что будет написана хотя бы одна нечётная цифра. Рассмотрим противоположное ему событие $\bar{D}$, которое состоит в том, что не будет ни одной нечётной цифры, то есть все три написанные цифры будут чётными. Множество чётных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}. Всего 5 чётных цифр. Число исходов, благоприятствующих событию $\bar{D}$, равно $m_{\bar{D}} = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$. Вероятность события $\bar{D}$ равна $P(\bar{D}) = \frac{m_{\bar{D}}}{N} = \frac{125}{1000} = 0,125$. Вероятность искомого события D равна разности единицы и вероятности противоположного события: $P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - 0,125 = 0,875$.
Ответ: 0,875