Номер 49.19, страница 300, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.19. В тёмном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете одновременно $n$ билетов, $n = 1, 2, 3, \ldots, 9$. Найдите вероятность $p(n)$ того, что у вас есть ровно один выигрышный билет. Численные результаты соберите в таблицу.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу равновозможных исходов.

Всего в ящике находится 5 выигрышных и 4 проигрышных билета, то есть 9 билетов.

Мы вытаскиваем $n$ билетов. Общее число способов сделать это (общее число исходов) равно числу сочетаний из 9 по $n$, что записывается как $C_9^n$.

$N = C_9^n = \frac{9!}{n!(9-n)!}$

Нас интересует событие, когда среди $n$ вытащенных билетов ровно 1 является выигрышным, а остальные $n-1$ — проигрышными. Это благоприятствующий исход.

Число способов выбрать 1 выигрышный билет из 5 имеющихся равно $C_5^1$.

Число способов выбрать $n-1$ проигрышных билетов из 4 имеющихся равно $C_4^{n-1}$.

По правилу произведения, общее число благоприятствующих исходов $m$ равно:

$m = C_5^1 \times C_4^{n-1}$

Таким образом, формула для вероятности $p(n)$ имеет вид:

$p(n) = \frac{C_5^1 \times C_4^{n-1}}{C_9^n}$

Важно отметить, что мы можем выбрать $n-1$ проигрышных билетов из 4 только в том случае, если $n-1 \le 4$, то есть $n \le 5$. Если $n > 5$, то число способов выбрать $n-1$ проигрышных билетов из 4 равно нулю ($C_4^{n-1} = 0$), и, следовательно, вероятность $p(n)$ будет равна нулю.

Теперь рассчитаем значения $p(n)$ для каждого $n$ от 1 до 9.

n = 1

Выбираем 1 билет. Нужно, чтобы он был выигрышным. В группе 1 выигрышный билет ($C_5^1=5$) и 0 проигрышных ($C_4^0=1$).
$p(1) = \frac{C_5^1 \times C_4^0}{C_9^1} = \frac{5 \times 1}{9} = \frac{5}{9}$.
Ответ: $p(1) = \frac{5}{9}$

n = 2

Выбираем 2 билета. Нужно, чтобы 1 был выигрышным ($C_5^1=5$) и 1 проигрышным ($C_4^1=4$).
$p(2) = \frac{C_5^1 \times C_4^1}{C_9^2} = \frac{5 \times 4}{\frac{9 \times 8}{2}} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.
Ответ: $p(2) = \frac{5}{9}$

n = 3

Выбираем 3 билета. Нужно, чтобы 1 был выигрышным ($C_5^1=5$) и 2 проигрышными ($C_4^2=6$).
$p(3) = \frac{C_5^1 \times C_4^2}{C_9^3} = \frac{5 \times 6}{\frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14}$.
Ответ: $p(3) = \frac{5}{14}$

n = 4

Выбираем 4 билета. Нужно, чтобы 1 был выигрышным ($C_5^1=5$) и 3 проигрышными ($C_4^3=4$).
$p(4) = \frac{C_5^1 \times C_4^3}{C_9^4} = \frac{5 \times 4}{\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}} = \frac{20}{126} = \frac{10}{63}$.
Ответ: $p(4) = \frac{10}{63}$

n = 5

Выбираем 5 билетов. Нужно, чтобы 1 был выигрышным ($C_5^1=5$) и 4 проигрышными ($C_4^4=1$).
$p(5) = \frac{C_5^1 \times C_4^4}{C_9^5} = \frac{5 \times 1}{126} = \frac{5}{126}$.
Ответ: $p(5) = \frac{5}{126}$

n = 6

Чтобы получить 1 выигрышный билет, нужно вытащить 5 проигрышных. Но в ящике всего 4 проигрышных билета, поэтому это невозможно ($C_4^5=0$).
$p(6) = \frac{C_5^1 \times C_4^5}{C_9^6} = \frac{5 \times 0}{84} = 0$.
Ответ: $p(6) = 0$

n = 7

Невозможно вытащить 6 проигрышных билетов из 4 имеющихся ($C_4^6=0$).
$p(7) = 0$.
Ответ: $p(7) = 0$

n = 8

Невозможно вытащить 7 проигрышных билетов из 4 имеющихся ($C_4^7=0$).
$p(8) = 0$.
Ответ: $p(8) = 0$

n = 9

Невозможно вытащить 8 проигрышных билетов из 4 имеющихся ($C_4^8=0$).
$p(9) = 0$.
Ответ: $p(9) = 0$

Соберем численные результаты в таблицу: