Номер 49.22, страница 301, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.22. В тёмном ящике $n$ белых и $n - 1$ чёрных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара.

a) Найдите вероятность того, что имеется, как минимум, три белых шара.

б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом $n$.

в) К какому числу стремится эта вероятность при $n \to \infty$?

г) Найдите наименьшее $n$, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,35.

а) Найдите вероятность того, что имеется, как минимум, три белых шара.

В ящике находится $n$ белых и $n-1$ чёрных шаров. Общее количество шаров: $n + (n-1) = 2n-1$. Случайно вытаскивают 4 шара. Это возможно, если общее число шаров не меньше 4, то есть $2n-1 \ge 4$, что означает $n \ge 2.5$. Поскольку $n$ — целое число, $n \ge 3$.

Общее число способов вытащить 4 шара из $2n-1$ шаров равно числу сочетаний $C_{2n-1}^4$:
$N_{общ} = C_{2n-1}^4 = \frac{(2n-1)!}{4!(2n-5)!} = \frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)}{24}$.

Событие «имеется, как минимум, три белых шара» означает, что произошло одно из двух несовместных событий:

1. Вытащено ровно 3 белых шара и 1 чёрный шар.
2. Вытащено ровно 4 белых шара и 0 чёрных шаров.

Найдём число благоприятствующих исходов для каждого случая.

1. Число способов выбрать 3 белых шара из $n$ и 1 чёрный шар из $n-1$:
$N_1 = C_n^3 \cdot C_{n-1}^1 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cdot (n-1) = \frac{n(n-1)^2(n-2)}{6}$.

2. Число способов выбрать 4 белых шара из $n$ и 0 чёрных шаров из $n-1$:
$N_2 = C_n^4 \cdot C_{n-1}^0 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \cdot 1 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$.
(Эта формула верна для $n \ge 4$. При $n=3$ числитель обращается в 0, что соответствует невозможности выбрать 4 белых шара из 3).

Общее число благоприятствующих исходов $N_{бл}$ равно сумме $N_1$ и $N_2$:
$N_{бл} = N_1 + N_2 = \frac{n(n-1)^2(n-2)}{6} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$
$N_{бл} = \frac{4n(n-1)^2(n-2) + n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$
$N_{бл} = \frac{n(n-1)(n-2) \cdot [4(n-1) + (n-3)]}{24} = \frac{n(n-1)(n-2)(5n-7)}{24}$.

Вероятность $P(n)$ равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:
$P(n) = \frac{N_{бл}}{N_{общ}} = \frac{\frac{n(n-1)(n-2)(5n-7)}{24}}{\frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)}{24}}$
$P(n) = \frac{n(n-1)(n-2)(5n-7)}{(2n-1) \cdot 2(n-1) \cdot (2n-3) \cdot 2(n-2)}$.

При $n \ge 3$ можно сократить общие множители $(n-1)$ и $(n-2)$:
$P(n) = \frac{n(5n-7)}{4(2n-1)(2n-3)}$.

Ответ: $P(n) = \frac{n(5n-7)}{4(2n-1)(2n-3)}$

б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом n.

Чтобы доказать, что вероятность $P(n)$ убывает с ростом $n$ (для $n \ge 3$), нужно показать, что $P(n+1) < P(n)$. Рассмотрим отношение $\frac{P(n+1)}{P(n)}$. Если оно меньше 1, то функция убывает.

$P(n) = \frac{n(5n-7)}{4(2n-1)(2n-3)}$

$P(n+1) = \frac{(n+1)(5(n+1)-7)}{4(2(n+1)-1)(2(n+1)-3)} = \frac{(n+1)(5n-2)}{4(2n+1)(2n-1)}$

$\frac{P(n+1)}{P(n)} = \frac{\frac{(n+1)(5n-2)}{4(2n+1)(2n-1)}}{\frac{n(5n-7)}{4(2n-1)(2n-3)}} = \frac{(n+1)(5n-2)(2n-3)}{n(5n-7)(2n+1)}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель: $(n+1)(10n^2 - 19n + 6) = 10n^3 - 9n^2 - 13n + 6$.

Знаменатель: $n(10n^2 - 9n - 7) = 10n^3 - 9n^2 - 7n$.

Необходимо доказать неравенство $\frac{10n^3 - 9n^2 - 13n + 6}{10n^3 - 9n^2 - 7n} < 1$.

Так как $n \ge 3$, знаменатель $n(5n-7)(2n+1)$ положителен, поэтому можно умножить обе части неравенства на него, сохранив знак:

$10n^3 - 9n^2 - 13n + 6 < 10n^3 - 9n^2 - 7n$

$-13n + 6 < -7n$

$6 < 6n$

$1 < n$

Это неравенство верно для всех $n \ge 2$. Поскольку мы рассматриваем $n \ge 3$, неравенство выполняется. Следовательно, $P(n+1) < P(n)$, и вероятность убывает с ростом $n$.

Ответ: Доказано, что вероятность убывает с ростом n.

в) К какому числу стремится эта вероятность при n > ??

Найдём предел функции $P(n)$ при $n \to \infty$:
$P(n) = \frac{n(5n-7)}{4(2n-1)(2n-3)} = \frac{5n^2 - 7n}{4(4n^2 - 8n + 3)} = \frac{5n^2 - 7n}{16n^2 - 32n + 12}$.

Для нахождения предела разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} P(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n^2}{n^2} - \frac{7n}{n^2}}{\frac{16n^2}{n^2} - \frac{32n}{n^2} + \frac{12}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{7}{n}}{16 - \frac{32}{n} + \frac{12}{n^2}}$.

При $n \to \infty$ все слагаемые, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю:

$\lim_{n \to \infty} P(n) = \frac{5 - 0}{16 - 0 + 0} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$

г) Найдите наименьшее n, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,35.

Нужно найти наименьшее целое $n \ge 3$, для которого выполняется неравенство $P(n) < 0.35$.

$P(n) = \frac{5n^2 - 7n}{16n^2 - 32n + 12} < 0.35$

Представим $0.35$ в виде дроби: $0.35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$.

$\frac{5n^2 - 7n}{16n^2 - 32n + 12} < \frac{7}{20}$

Знаменатель $16n^2 - 32n + 12 = 4(2n-1)(2n-3)$ положителен для $n \ge 3$, поэтому можно умножить обе части на него:

$20(5n^2 - 7n) < 7(16n^2 - 32n + 12)$

$100n^2 - 140n < 112n^2 - 224n + 84$

$0 < 12n^2 - 84n + 84$

Разделим обе части на 12:

$n^2 - 7n + 7 > 0$

Решим квадратное уравнение $n^2 - 7n + 7 = 0$, чтобы найти корни:

$n = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 28}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{7 - \sqrt{21}}{2} \approx 1.21$ и $n_2 = \frac{7 + \sqrt{21}}{2} \approx 5.79$.

Парабола $y = n^2 - 7n + 7$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $n^2 - 7n + 7 > 0$ выполняется при $n < n_1$ или $n > n_2$. Учитывая условие $n \ge 3$, получаем $n > n_2 \approx 5.79$.

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $n=6$.

Проверим результат, вычислив значения вероятности для $n=5$ и $n=6$:

$P(5) = \frac{5(5 \cdot 5 - 7)}{4(2 \cdot 5 - 1)(2 \cdot 5 - 3)} = \frac{5(18)}{4(9)(7)} = \frac{5}{14} \approx 0.3571 > 0.35$.

$P(6) = \frac{6(5 \cdot 6 - 7)}{4(2 \cdot 6 - 1)(2 \cdot 6 - 3)} = \frac{6(23)}{4(11)(9)} = \frac{23}{66} \approx 0.3485 < 0.35$.

Расчеты подтверждают, что наименьшее целое значение $n$, при котором вероятность становится меньше 0.35, равно 6.

Ответ: 6