Номер 49.27, страница 301, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.27. Каждый из $n$ учеников независимо друг от друга написал по одной цифре от 0 до 9.

a) Какова вероятность того, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5?

б) Как меняется эта вероятность с изменением $n$?

в) Найдите предел этой вероятности при $n \to \infty$.

г) При каком наименьшем $n$ вероятность появления хотя бы одной цифры 5 будет больше вероятности её отсутствия?

а) Для нахождения вероятности того, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5, удобнее сначала вычислить вероятность противоположного события, а именно, что ни один из $n$ учеников не напишет цифру 5.

Всего существует 10 цифр (от 0 до 9). Вероятность того, что один конкретный ученик напишет цифру, отличную от 5, составляет $p_{не\_5} = \frac{9}{10} = 0.9$.

Так как выборы учеников являются независимыми событиями, вероятность того, что все $n$ учеников напишут цифры, отличные от 5, равна произведению вероятностей для каждого ученика: $P(\text{нет ни одной 5}) = (0.9)^n$.

Событие «хотя бы одна цифра 5» является противоположным событию «нет ни одной цифры 5», поэтому его вероятность равна $1$ минус вероятность противоположного события.

Ответ: $1 - (0.9)^n$.

б) Вероятность появления хотя бы одной цифры 5 зависит от $n$ как функция $P(n) = 1 - (0.9)^n$. Чтобы понять, как она меняется с изменением $n$, проанализируем эту функцию.

Основание степени $0.9$ меньше единицы, поэтому с увеличением показателя степени $n$ значение $(0.9)^n$ будет уменьшаться.

Поскольку мы вычитаем убывающую величину $(0.9)^n$ из единицы, разность $1 - (0.9)^n$ будет увеличиваться.

Таким образом, с увеличением числа учеников $n$ вероятность того, что среди написанных ими цифр будет хотя бы одна цифра 5, возрастает.

Ответ: С увеличением $n$ эта вероятность возрастает.

в) Необходимо найти предел вероятности $P(n) = 1 - (0.9)^n$ при $n$, стремящемся к бесконечности.

$\lim_{n \to \infty} P(n) = \lim_{n \to \infty} (1 - (0.9)^n) = 1 - \lim_{n \to \infty} (0.9)^n$.

Мы используем известное свойство пределов для геометрической прогрессии: если $|q| < 1$, то $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$. В нашем случае $q = 0.9$, и это условие выполняется.

Следовательно, $\lim_{n \to \infty} (0.9)^n = 0$.

Тогда искомый предел равен $1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

г) Вероятность появления хотя бы одной цифры 5 равна $P_A = 1 - (0.9)^n$. Вероятность её отсутствия (т.е. ни одной цифры 5) равна $P_{\bar{A}} = (0.9)^n$.

Нам нужно найти наименьшее целое $n$, при котором выполняется неравенство $P_A > P_{\bar{A}}$:

$1 - (0.9)^n > (0.9)^n$

Прибавим $(0.9)^n$ к обеим частям неравенства:

$1 > 2 \cdot (0.9)^n$

Разделим обе части на 2:

$0.5 > (0.9)^n$

Чтобы решить это неравенство относительно $n$, прологарифмируем обе части. Возьмем натуральный логарифм:

$\ln(0.5) > \ln((0.9)^n)$

$ \ln(0.5) > n \cdot \ln(0.9)$

Поскольку $\ln(0.9)$ является отрицательным числом ($\ln(x) < 0$ при $0 < x < 1$), при делении на него знак неравенства изменится на противоположный:

$n > \frac{\ln(0.5)}{\ln(0.9)}$

Вычислим значение дроби: $\frac{\ln(0.5)}{\ln(0.9)} \approx \frac{-0.6931}{-0.1054} \approx 6.576$.

Итак, $n > 6.576$. Поскольку $n$ — это число учеников, оно должно быть целым. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 7.

Проверим:

При $n=6$: $(0.9)^6 \approx 0.531$, что больше $0.5$. Неравенство не выполняется.

При $n=7$: $(0.9)^7 \approx 0.478$, что меньше $0.5$. Неравенство выполняется.

Ответ: $n=7$.