Номер 44.50, страница 275, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.50. a) $y = 5x^5 - 3x^3;$

Б) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13;$

В) $y = x^4 - 50x^2;$

Г) $y = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3.$

а) $y = 5x^5 - 3x^3$

Для нахождения точек экстремума найдем производную функции:

$y' = (5x^5 - 3x^3)' = 5 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 = 25x^4 - 9x^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$25x^4 - 9x^2 = 0$

$x^2(25x^2 - 9) = 0$

$x^2(5x-3)(5x+3) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 0.6$, $x_3 = -0.6$.

Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• При $x < -0.6$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $-0.6 < x < 0$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $0 < x < 0.6$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 0.6$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -0.6$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.

В точке $x = 0$ производная не меняет знак, это не точка экстремума (точка перегиба).

В точке $x = 0.6$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$y_{max} = y(-0.6) = 5(-0.6)^5 - 3(-0.6)^3 = 5(-0.07776) - 3(-0.216) = -0.3888 + 0.648 = 0.2592$.

$y_{min} = y(0.6) = 5(0.6)^5 - 3(0.6)^3 = 5(0.07776) - 3(0.216) = 0.3888 - 0.648 = -0.2592$.

Ответ: точка максимума $x = -0.6$, $y_{max} = 0.2592$; точка минимума $x = 0.6$, $y_{min} = -0.2592$.

б) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13$

Найдем производную функции:

$y' = (x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13)' = 4x^3 - 12x^2 - 16x$.

Приравняем производную к нулю:

$4x^3 - 12x^2 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 3x - 4) = 0$

Решая квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$, находим корни $x = 4$ и $x = -1$.

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 4$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < -1$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $-1 < x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $0 < x < 4$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 4$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

В точке $x = 4$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 - 8(-1)^2 + 13 = 1 + 4 - 8 + 13 = 10$.

$y_{max} = y(0) = 0^4 - 4(0)^3 - 8(0)^2 + 13 = 13$.

$y_{min} = y(4) = 4^4 - 4(4)^3 - 8(4)^2 + 13 = 256 - 256 - 128 + 13 = -115$.

Ответ: точки минимума $x = -1$, $y_{min} = 10$ и $x = 4$, $y_{min} = -115$; точка максимума $x = 0$, $y_{max} = 13$.

в) $y = x^4 - 50x^2$

Найдем производную функции:

$y' = (x^4 - 50x^2)' = 4x^3 - 100x$.

Приравняем производную к нулю:

$4x^3 - 100x = 0$

$4x(x^2 - 25) = 0$

$4x(x - 5)(x + 5) = 0$

Критические точки: $x_1 = -5$, $x_2 = 0$, $x_3 = 5$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < -5$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $-5 < x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $0 < x < 5$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 5$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -5$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

В точке $x = 5$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$y_{min} = y(-5) = (-5)^4 - 50(-5)^2 = 625 - 50(25) = 625 - 1250 = -625$.

$y_{max} = y(0) = 0^4 - 50(0)^2 = 0$.

$y_{min} = y(5) = 5^4 - 50(5)^2 = 625 - 50(25) = 625 - 1250 = -625$.

Ответ: точки минимума $x = -5$, $y_{min} = -625$ и $x = 5$, $y_{min} = -625$; точка максимума $x = 0$, $y_{max} = 0$.

г) $y = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3$

Найдем производную функции:

$y' = (2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3)' = 10x^4 + 20x^3 - 30x^2$.

Приравняем производную к нулю:

$10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 0$

$10x^2(x^2 + 2x - 3) = 0$

Решая квадратное уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$, находим корни $x = 1$ и $x = -3$.

Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < -3$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $-3 < x < 0$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $0 < x < 1$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 1$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

В точке $x = 0$ производная не меняет знак, это не точка экстремума (точка перегиба).

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$y_{max} = y(-3) = 2(-3)^5 + 5(-3)^4 - 10(-3)^3 + 3 = 2(-243) + 5(81) - 10(-27) + 3 = -486 + 405 + 270 + 3 = 192$.

$y_{min} = y(1) = 2(1)^5 + 5(1)^4 - 10(1)^3 + 3 = 2 + 5 - 10 + 3 = 0$.

Ответ: точка максимума $x = -3$, $y_{max} = 192$; точка минимума $x = 1$, $y_{min} = 0$.