Номер 44.52, страница 275, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.52. a) $y = x - 2\sqrt{x - 2};$

В) $y = 4\sqrt{2x - 1 - x};$

б) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{5 - x};$

Г) $y = \sqrt{x + 2\sqrt{7 - x}}.$

а) $y = x - 2\sqrt{x - 2}$

1. Найдём область определения функции.
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.
Следовательно, область определения функции $D(y) = [2, +\infty)$.

2. Найдём область значений функции.
Преобразуем выражение, выделив полный квадрат. Добавим и вычтем 2, чтобы сгруппировать с $x$.
$y = x - 2\sqrt{x - 2} = (x - 2) - 2\sqrt{x - 2} + 2$
Теперь выражение $(x-2) - 2\sqrt{x-2}$ можно дополнить до полного квадрата разности. $y = (\sqrt{x - 2})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot 1 + 1^2 - 1^2 + 2 = (\sqrt{x - 2} - 1)^2 + 1$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x - 2}$. Поскольку $x \ge 2$, то $t \ge 0$. Тогда функция примет вид $y(t) = (t - 1)^2 + 1$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с вершиной в точке $(1, 1)$. Нам нужно найти множество значений этой функции при $t \ge 0$.
Наименьшее значение выражения $(t - 1)^2$ при $t \ge 0$ достигается в вершине параболы при $t = 1$ (это значение входит в область $t \ge 0$) и равно $0$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{min} = 0 + 1 = 1$.
Поскольку $t$ может неограниченно возрастать ($t \to +\infty$), значение $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, область значений функции — это луч, начинающийся с наименьшего значения.

Ответ: $[1, +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{5 - x}$

1. Найдём область определения функции.
Выражения под корнями должны быть неотрицательными, поэтому решаем систему неравенств: $\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 5 \end{cases}$
Следовательно, область определения функции $D(y) = [-1, 5]$.

2. Найдём область значений функции.
Поскольку оба слагаемых в выражении для $y$ неотрицательны, то $y \ge 0$. Это позволяет нам исследовать функцию $y^2$, чтобы найти область значений $y$.
$y^2 = (\sqrt{x + 1} + \sqrt{5 - x})^2 = (x + 1) + 2\sqrt{(x + 1)(5 - x)} + (5 - x) = 6 + 2\sqrt{-x^2 + 4x + 5}$.
Теперь найдём область значений выражения $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ на отрезке $D(y) = [-1, 5]$. График $f(x)$ — парабола с ветвями вниз, поэтому её наибольшее значение достигается в вершине.
Координата вершины: $x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1, 5]$. Наибольшее значение $f(x)$ равно $f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.
Наименьшее значение $f(x)$ на отрезке ищем на его концах.
$f(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$.
$f(5) = -(5)^2 + 4(5) + 5 = -25 + 20 + 5 = 0$.
Таким образом, область значений функции $f(x)$ на отрезке $[-1, 5]$ есть $[0, 9]$.
Тогда область значений $\sqrt{f(x)}$ есть $[\sqrt{0}, \sqrt{9}] = [0, 3]$.
Следовательно, область значений для $y^2 = 6 + 2\sqrt{f(x)}$ есть $[6 + 2 \cdot 0, 6 + 2 \cdot 3] = [6, 12]$.
Так как $y \ge 0$, извлекаем квадратный корень из границ полученного отрезка, чтобы найти область значений для $y$.

Ответ: $[\sqrt{6}, 2\sqrt{3}]$.

в) $y = 4\sqrt{2x - 1} - x$

1. Найдём область определения функции.
$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge 1/2$.
Область определения $D(y) = [1/2, +\infty)$.

2. Найдём область значений функции.
Применим метод замены переменной. Пусть $t = \sqrt{2x - 1}$. Так как $x \ge 1/2$, то $t \ge 0$.
Выразим $x$ через $t$: $t^2 = 2x - 1 \implies 2x = t^2 + 1 \implies x = \frac{t^2 + 1}{2}$.
Подставим в исходную функцию:
$y(t) = 4t - \frac{t^2 + 1}{2} = \frac{8t - (t^2 + 1)}{2} = -\frac{1}{2}t^2 + 4t - \frac{1}{2}$.
Мы получили квадратичную функцию от $t$ на области $t \ge 0$. Её график — парабола с ветвями, направленными вниз. Наибольшее значение достигается в вершине.
Координата вершины: $t_v = -\frac{4}{2(-1/2)} = 4$. Это значение принадлежит области $t \ge 0$.
Наибольшее значение функции:
$y_{max} = y(t=4) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(16) + 16 - \frac{1}{2} = -8 + 16 - 0.5 = 7.5$.
Так как ветви параболы направлены вниз, при $t \to +\infty$ функция $y(t) \to -\infty$. Следовательно, область значений функции — это луч от $-\infty$ до наибольшего значения включительно.

Ответ: $(-\infty, 7.5]$.

г) $y = \sqrt{x} + 2\sqrt{7 - x}$

1. Найдём область определения функции.
$\begin{cases} x \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 7 \end{cases}$
Область определения $D(y) = [0, 7]$.

2. Найдём область значений функции.
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке воспользуемся производной.
$y' = (\sqrt{x} + 2\sqrt{7 - x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{7 - x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{7 - x}}$.
Найдём критические точки, приравняв производную к нулю (внутри интервала $(0, 7)$):
$\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{7 - x}} = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{7 - x}} \implies \sqrt{7 - x} = 2\sqrt{x}$.
Возведём обе части в квадрат: $7 - x = 4x \implies 5x = 7 \implies x = 1.4$. Эта точка принадлежит области определения $[0, 7]$.
Определим знак производной на интервалах $(0, 1.4)$ и $(1.4, 7)$.
При $x \in (0, 1.4)$, например $x=1$, $y'(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{6}} > 0$, функция возрастает.
При $x \in (1.4, 7)$, например $x=4$, $y'(4) = \frac{1}{4} - \frac{1}{\sqrt{3}} < 0$, функция убывает.
Следовательно, в точке $x=1.4$ функция достигает своего максимума.
$y_{max} = y(1.4) = \sqrt{1.4} + 2\sqrt{7 - 1.4} = \sqrt{1.4} + 2\sqrt{5.6} = \sqrt{\frac{7}{5}} + 2\sqrt{\frac{28}{5}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} + 2\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\sqrt{7} = \sqrt{35}$.
Найдём значения функции на концах отрезка $[0, 7]$:
$y(0) = \sqrt{0} + 2\sqrt{7 - 0} = 2\sqrt{7} = \sqrt{28}$.
$y(7) = \sqrt{7} + 2\sqrt{7 - 7} = \sqrt{7}$.
Сравнивая значения $y_{max}=\sqrt{35}$, $y(0)=\sqrt{28}$ и $y(7)=\sqrt{7}$, заключаем, что наименьшее значение функции равно $\sqrt{7}$, а наибольшее — $\sqrt{35}$.

Ответ: $[\sqrt{7}, \sqrt{35}]$.