Номер 44.55, страница 275, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.55. a) $y = \arcsin x^2$;

б) $y = 3 \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$;

в) $y = \arccos x^2$;

г) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{2x}$.

а) $y = \arcsin x^2$

Это сложная функция вида $y = f(u(x))$, где $f(u) = \arcsin u$ и $u(x) = x^2$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $y' = f'(u) \cdot u'(x)$.

Находим производные:

1. Производная внешней функции $f(u) = \arcsin u$: $f'(u) = (\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

2. Производная внутренней функции $u(x) = x^2$: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Теперь подставляем $u(x) = x^2$ в производную внешней функции и умножаем на производную внутренней функции:

$y' = (\arcsin x^2)' = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot (x^2)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.

Ответ: $y' = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

б) $y = 3 \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$

Это сложная функция с постоянным множителем. Функция имеет вид $y = 3 \cdot f(u(x))$, где $f(u) = \operatorname{arcctg} u$ и $u(x) = \sqrt{x}$. Используем правило дифференцирования сложной функции: $y' = 3 \cdot f'(u) \cdot u'(x)$.

Находим производные:

1. Производная внешней функции $f(u) = \operatorname{arcctg} u$: $f'(u) = (\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{1}{1+u^2}$.

2. Производная внутренней функции $u(x) = \sqrt{x}$: $u'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставляем $u(x) = \sqrt{x}$ в производную внешней функции и умножаем на производную внутренней функции, не забывая про константу 3:

$y' = (3 \operatorname{arcctg} \sqrt{x})' = 3 \cdot \left(-\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\right) \cdot (\sqrt{x})' = -3 \cdot \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3}{2\sqrt{x}(1+x)}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{2\sqrt{x}(1+x)}$

в) $y = \arccos x^2$

Это сложная функция вида $y = f(u(x))$, где $f(u) = \arccos u$ и $u(x) = x^2$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции: $y' = f'(u) \cdot u'(x)$.

Находим производные:

1. Производная внешней функции $f(u) = \arccos u$: $f'(u) = (\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

2. Производная внутренней функции $u(x) = x^2$: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Теперь подставляем $u(x) = x^2$ в производную внешней функции и умножаем на производную внутренней функции:

$y' = (\arccos x^2)' = -\frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot (x^2)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = -\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.

Ответ: $y' = -\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

г) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{2x}$

Это сложная функция вида $y = f(u(x))$, где $f(u) = \operatorname{arctg} u$ и $u(x) = \sqrt{2x}$. Используем правило дифференцирования сложной функции: $y' = f'(u) \cdot u'(x)$.

Находим производные:

1. Производная внешней функции $f(u) = \operatorname{arctg} u$: $f'(u) = (\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1+u^2}$.

2. Производная внутренней функции $u(x) = \sqrt{2x}$: $u'(x) = (\sqrt{2x})' = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot (2x)' = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Подставляем $u(x) = \sqrt{2x}$ в производную внешней функции и умножаем на производную внутренней функции:

$y' = (\operatorname{arctg} \sqrt{2x})' = \frac{1}{1+(\sqrt{2x})^2} \cdot (\sqrt{2x})' = \frac{1}{1+2x} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{(1+2x)\sqrt{2x}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{(1+2x)\sqrt{2x}}$