Номер 44.57, страница 275, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.57. Производная функции $y = ax^2 + 7x + 1$ в точке $x_0$ равна $c$.

Найдите точку экстремума функции и определите, является она точкой максимума или точкой минимума, если:

а) $x_0 = 0,5, c = 15$;

б) $x_0 = 3, c = -5$;

в) $x_0 = -1, c = 9$;

г) $x_0 = -0,5, c = 7,1$.

а) Дано: $x_0 = 0.5$, $c = 15$.

1. Общий вид функции: $y = ax^2 + 7x + 1$.
Найдем ее производную: $y'(x) = (ax^2 + 7x + 1)' = 2ax + 7$.

2. По условию, производная функции в точке $x_0$ равна $c$, то есть $y'(x_0) = c$. Подставим известные значения, чтобы найти коэффициент $a$:
$y'(0.5) = 2a \cdot 0.5 + 7 = 15$
$a + 7 = 15$
$a = 15 - 7 = 8$.

3. Функция имеет вид $y = 8x^2 + 7x + 1$. Точка экстремума — это точка, в которой производная равна нулю. Найдем эту точку:
$y'(x) = 16x + 7 = 0$
$16x = -7$
$x = -\frac{7}{16}$.

4. Для определения типа экстремума проанализируем знак коэффициента $a$. Так как $a = 8 > 0$, ветви параболы направлены вверх, следовательно, точка экстремума является точкой минимума.

Ответ: точка экстремума $x = -7/16$, это точка минимума.

б) Дано: $x_0 = 3$, $c = -5$.

1. Производная функции: $y'(x) = 2ax + 7$.

2. Найдем коэффициент $a$ из условия $y'(x_0) = c$:
$y'(3) = 2a \cdot 3 + 7 = -5$
$6a + 7 = -5$
$6a = -12$
$a = -2$.

3. Функция имеет вид $y = -2x^2 + 7x + 1$. Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю:
$y'(x) = -4x + 7 = 0$
$4x = 7$
$x = \frac{7}{4}$ или $x = 1.75$.

4. Так как коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, точка экстремума является точкой максимума.

Ответ: точка экстремума $x = 7/4$, это точка максимума.

в) Дано: $x_0 = -1$, $c = 9$.

1. Производная функции: $y'(x) = 2ax + 7$.

2. Найдем коэффициент $a$ из условия $y'(x_0) = c$:
$y'(-1) = 2a \cdot (-1) + 7 = 9$
$-2a + 7 = 9$
$-2a = 2$
$a = -1$.

3. Функция имеет вид $y = -x^2 + 7x + 1$. Найдем точку экстремума:
$y'(x) = -2x + 7 = 0$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2}$ или $x = 3.5$.

4. Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, точка экстремума является точкой максимума.

Ответ: точка экстремума $x = 7/2$, это точка максимума.

г) Дано: $x_0 = -0.5$, $c = 7.1$.

1. Производная функции: $y'(x) = 2ax + 7$.

2. Найдем коэффициент $a$ из условия $y'(x_0) = c$:
$y'(-0.5) = 2a \cdot (-0.5) + 7 = 7.1$
$-a + 7 = 7.1$
$-a = 0.1$
$a = -0.1$.

3. Функция имеет вид $y = -0.1x^2 + 7x + 1$. Найдем точку экстремума:
$y'(x) = -0.2x + 7 = 0$
$0.2x = 7$
$x = \frac{7}{0.2} = 35$.

4. Так как коэффициент $a = -0.1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, точка экстремума является точкой максимума.

Ответ: точка экстремума $x = 35$, это точка максимума.