Номер 44.59, страница 276, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

44.59. a) $y = \sin x - \frac{1}{2}x$;

б) $y = \frac{x}{2} - \cos x$;

в) $y = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \cos x$;

г) $y = x - \sin x$.

а) $y = \sin x - \frac{1}{2}x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдём производную функции: $y' = (\sin x - \frac{1}{2}x)' = \cos x - \frac{1}{2}$.

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $\cos x - \frac{1}{2} = 0$.

Отсюда $\cos x = \frac{1}{2}$, и критические точки $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим интервалы монотонности. Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\cos x > \frac{1}{2}$. Это происходит на интервалах $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$.

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\cos x < \frac{1}{2}$. Это происходит на интервалах $(\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$.

Точки $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ являются точками локального максимума, так как в них производная меняет знак с плюса на минус.

Точки $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ являются точками локального минимума, так как в них производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, убывает на интервалах $(\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$, точки максимума $x_{max} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, точки минимума $x_{min} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{x}{2} - \cos x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдём производную функции: $y' = (\frac{x}{2} - \cos x)' = \frac{1}{2} + \sin x$.

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $\frac{1}{2} + \sin x = 0$.

Отсюда $\sin x = -\frac{1}{2}$, и критические точки $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим интервалы монотонности. Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\sin x > -\frac{1}{2}$. Это происходит на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$.

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\sin x < -\frac{1}{2}$. Это происходит на интервалах $(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$.

Точки $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ являются точками локального максимума, так как в них производная меняет знак с плюса на минус.

Точки $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ являются точками локального минимума, так как в них производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$, убывает на интервалах $(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$, точки максимума $x_{max} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, точки минимума $x_{min} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \cos x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдём производную функции: $y' = (\frac{1}{\sqrt{2}}x + \cos x)' = \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin x$.

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $\frac{1}{\sqrt{2}} - \sin x = 0$.

Отсюда $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, и критические точки $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим интервалы монотонности. Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\sin x < \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это происходит на интервалах $(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n)$.

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\sin x > \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это происходит на интервалах $(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$.

Точки $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ являются точками локального максимума, так как в них производная меняет знак с плюса на минус.

Точки $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ являются точками локального минимума, так как в них производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n)$, убывает на интервалах $(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, точки максимума $x_{max} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, точки минимума $x_{min} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = x - \sin x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдём производную функции: $y' = (x - \sin x)' = 1 - \cos x$.

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $1 - \cos x = 0$.

Отсюда $\cos x = 1$, и критические точки $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим знак производной. Так как $-1 \le \cos x \le 1$ для любого $x$, то производная $y' = 1 - \cos x \ge 0$ всегда. Равенство нулю достигается только в изолированных точках $x = 2\pi n$.

Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция является строго возрастающей на всей области определения.

Так как производная не меняет знак, у функции нет точек экстремума. Точки $x = 2\pi n$ являются точками перегиба.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$, экстремумов нет.