Номер 44.51, страница 275, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.51. а) $y = x + \frac{4}{x}$;

б) $y = \frac{x^2 + 9}{x}$.

а)

Для нахождения точек экстремума функции $y = x + \frac{4}{x}$ (точек максимума и минимума) необходимо исследовать её с помощью производной.

1. Находим область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$y' = \left(x + \frac{4}{x}\right)' = (x)' + (4x^{-1})' = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2}$.

3. Находим критические точки.
Для этого приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение. Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует.
$y' = 0 \Rightarrow 1 - \frac{4}{x^2} = 0$.
$\frac{x^2 - 4}{x^2} = 0$.
Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) = 0$.
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Обе точки входят в область определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах.
Критические точки $x = -2$, $x = 2$ и точка разрыва $x = 0$ делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -2)$, например при $x = -3$: $y'(-3) = 1 - \frac{4}{(-3)^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0$. Функция возрастает ($\nearrow$).
- На интервале $(-2; 0)$, например при $x = -1$: $y'(-1) = 1 - \frac{4}{(-1)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$. Функция убывает ($\searrow$).
- На интервале $(0; 2)$, например при $x = 1$: $y'(1) = 1 - \frac{4}{1^2} = 1 - 4 = -3 < 0$. Функция убывает ($\searrow$).
- На интервале $(2; +\infty)$, например при $x = 3$: $y'(3) = 1 - \frac{4}{3^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0$. Функция возрастает ($\nearrow$).

5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «?», следовательно, это точка локального максимума.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «?» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума.
- Значение в точке максимума: $y_{max} = y(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -2 - 2 = -4$.
- Значение в точке минимума: $y_{min} = y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -2$, локальный максимум $y(-2)=-4$; точка минимума $x_{min} = 2$, локальный минимум $y(2)=4$.

б)

Для нахождения точек экстремума функции $y = \frac{x^2 + 9}{x}$ выполним аналогичные действия.

1. Преобразуем функцию и находим область определения.
$y = \frac{x^2}{x} + \frac{9}{x} = x + \frac{9}{x}$.
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$y' = \left(x + \frac{9}{x}\right)' = (x)' + (9x^{-1})' = 1 - 9x^{-2} = 1 - \frac{9}{x^2}$.

3. Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю: $y' = 0$.
$1 - \frac{9}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 9}{x^2} = 0$.
$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах.
Точки $x = -3$, $x = 3$ и $x = 0$ делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 3)$, $(3; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -3)$, например при $x = -4$: $y'(-4) = 1 - \frac{9}{(-4)^2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} > 0$. Функция возрастает ($\nearrow$).
- На интервале $(-3; 0)$, например при $x = -1$: $y'(-1) = 1 - \frac{9}{(-1)^2} = 1 - 9 = -8 < 0$. Функция убывает ($\searrow$).
- На интервале $(0; 3)$, например при $x = 1$: $y'(1) = 1 - \frac{9}{1^2} = 1 - 9 = -8 < 0$. Функция убывает ($\searrow$).
- На интервале $(3; +\infty)$, например при $x = 4$: $y'(4) = 1 - \frac{9}{4^2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} > 0$. Функция возрастает ($\nearrow$).

5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «?», следовательно, это точка локального максимума.
- В точке $x = 3$ производная меняет знак с «?» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума.
- Значение в точке максимума: $y_{max} = y(-3) = -3 + \frac{9}{-3} = -3 - 3 = -6$.
- Значение в точке минимума: $y_{min} = y(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -3$, локальный максимум $y(-3)=-6$; точка минимума $x_{min} = 3$, локальный минимум $y(3)=6$.