Номер 44.45, страница 273, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.45. Может ли иметь только одну точку экстремума:

а) чётная функция;

б) нечётная функция;

в) периодическая функция;

г) монотонная функция?

а) чётная функция

Да, может. По определению, чётная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат. Если у чётной функции есть точка экстремума $x_0 \neq 0$, то из-за симметрии точка $-x_0$ также будет точкой экстремума. Таким образом, если есть хотя бы один экстремум не в нуле, то их будет как минимум два. Однако, если точка экстремума находится в $x_0 = 0$, то симметричная ей точка совпадает с ней самой ($-0 = 0$). В этом случае экстремум может быть единственным. Примером такой функции является парабола $f(x) = x^2$. Эта функция чётная, так как $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Её единственная точка экстремума (минимум) находится в вершине, в точке $x=0$.

Ответ: да.

б) нечётная функция

Нет, не может. По определению, нечётная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно начала координат. Предположим, что у нечётной функции есть точка экстремума $x_0 \neq 0$. Пусть это точка локального максимума. Тогда в некоторой окрестности точки $x_0$ выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$. В силу симметрии, в точке $-x_0$ будет локальный минимум. Действительно, для точки $y$ из окрестности $-x_0$ можно записать $y = -x$, где $x$ находится в окрестности $x_0$. Тогда $f(y) = f(-x) = -f(x)$. Поскольку $f(x) \le f(x_0)$, то $-f(x) \ge -f(x_0)$. А так как $f(-x_0) = -f(x_0)$, получаем $f(y) \ge f(-x_0)$. Это означает, что в точке $-x_0$ функция имеет локальный минимум. Таким образом, если есть экстремум в точке $x_0 \neq 0$, то обязательно есть и второй экстремум в точке $-x_0$. Может ли единственная точка экстремума быть в $x_0 = 0$? Если функция определена в нуле, то для нечётной функции $f(0)=0$. Если бы в точке $x=0$ был экстремум (например, минимум), то в некоторой окрестности нуля должно было бы выполняться $f(x) \ge f(0) = 0$. Но для нечётной функции, если для $x>0$ имеем $f(x) \ge 0$, то для $-x<0$ будет $f(-x) = -f(x) \le 0$. Это противоречит условию локального минимума в точке $0$ (если только функция не равна тождественно нулю в целой окрестности, что дало бы бесконечное число экстремумов). Следовательно, нечётная функция не может иметь ровно одну точку экстремума.

Ответ: нет.

в) периодическая функция

Нет, не может (если функция не является константой). По определению, периодическая функция $f(x)$ с периодом $T>0$ удовлетворяет условию $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Предположим, у такой функции есть точка экстремума $x_0$. Это означает, что в некоторой окрестности точки $x_0$ функция принимает наибольшее (максимум) или наименьшее (минимум) значение. Из-за периодичности, если в точке $x_0$ есть экстремум, то такой же экстремум (того же типа и с тем же значением) будет и в точках $x_0+T$, $x_0-T$, $x_0+2T$, и в общем виде во всех точках $x_0+kT$ для любого целого числа $k$. Таким образом, если у не являющейся константой периодической функции есть хотя бы одна точка экстремума, то их обязательно будет бесконечное множество. Если же функция является константой, например $f(x)=c$, то каждая точка её области определения является точкой экстремума, и их тоже бесконечно много.

Ответ: нет.

г) монотонная функция

Да, может. Монотонная функция — это функция, которая является либо неубывающей ($x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2)$), либо невозрастающей ($x_1 < x_2 \implies f(x_1) \ge f(x_2)$). Если строго монотонная функция определена на всей числовой оси $(-\infty, \infty)$, то у неё нет точек локального экстремума. Если нестрого монотонная функция имеет экстремум, то она должна быть постоянной на некотором интервале, что означает наличие бесконечного числа точек экстремума. Однако, если область определения функции ограничена, например, это луч $[a, \infty)$ или отрезок $[a, b]$, то экстремум может существовать на границе области определения. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Её область определения — $[0, \infty)$. Эта функция является строго возрастающей на своей области определения и, следовательно, монотонной. В точке $x=0$ она имеет единственный экстремум — глобальный минимум, так как $f(0)=0$ и для любого другого $x > 0$ из области определения $f(x) = \sqrt{x} > 0$. Ни в какой другой точке $x_0 > 0$ экстремума нет, так как для $x < x_0$ значение функции меньше $f(x_0)$, а для $x > x_0$ — больше.

Ответ: да.