Номер 44.49, страница 275, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.49. a) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1;$

Б) $y = x^3 - 27x + 26;$

В) $y = x^3 - 7x^2 - 5x + 11;$

Г) $y = 2x^3 - 21x^2 + 19.$

a) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1$

1. Найдем область определения функции. Так как это многочлен, область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; 2)$, возьмем $x=0$: $y'(0) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6 > 0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(2; 3)$, возьмем $x=2.5$: $y'(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0$, следовательно, функция убывает.

- На интервале $(3; +\infty)$, возьмем $x=4$: $y'(4) = 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0$, следовательно, функция возрастает.

5. В точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_{max} = y(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{5}{2} \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 - 1 = \frac{8}{3} - 10 + 12 - 1 = \frac{8}{3} + 1 = \frac{11}{3}$.

$y_{min} = y(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{5}{2} \cdot 3^2 + 6 \cdot 3 - 1 = 9 - \frac{45}{2} + 18 - 1 = 26 - 22.5 = 3.5 = \frac{7}{2}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутке $[2; 3]$. Точка максимума $x_{max} = 2$, $y(2) = \frac{11}{3}$. Точка минимума $x_{min} = 3$, $y(3) = \frac{7}{2}$.

б) $y = x^3 - 27x + 26$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 27x + 26)' = 3x^2 - 27$.

3. Найдем критические точки:

$3x^2 - 27 = 0 \implies 3x^2 = 27 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$, $(3; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; -3)$, возьмем $x=-4$: $y'(-4) = 3(-4)^2 - 27 = 3 \cdot 16 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-3; 3)$, возьмем $x=0$: $y'(0) = 3(0)^2 - 27 = -27 < 0$, функция убывает.

- На интервале $(3; +\infty)$, возьмем $x=4$: $y'(4) = 3(4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=-3$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_{max} = y(-3) = (-3)^3 - 27(-3) + 26 = -27 + 81 + 26 = 80$.

$y_{min} = y(3) = 3^3 - 27(3) + 26 = 27 - 81 + 26 = -28$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 3]$. Точка максимума $x_{max} = -3$, $y(-3) = 80$. Точка минимума $x_{min} = 3$, $y(3) = -28$.

в) $y = x^3 - 7x^2 - 5x + 11$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 7x^2 - 5x + 11)' = 3x^2 - 14x - 5$.

3. Найдем критические точки:

$3x^2 - 14x - 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

$x_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$.

$x_1 = \frac{14-16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{14+16}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

4. График производной — парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней и отрицательна между ними.

- На интервалах $(-\infty; -1/3)$ и $(5; +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-1/3; 5)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

5. В точке $x=-1/3$ — максимум, в точке $x=5$ — минимум.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_{max} = y(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - 7(-\frac{1}{3})^2 - 5(-\frac{1}{3}) + 11 = -\frac{1}{27} - \frac{7}{9} + \frac{5}{3} + 11 = \frac{-1 - 21 + 45 + 297}{27} = \frac{320}{27}$.

$y_{min} = y(5) = 5^3 - 7 \cdot 5^2 - 5 \cdot 5 + 11 = 125 - 7 \cdot 25 - 25 + 11 = 125 - 175 - 25 + 11 = -64$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1/3]$ и $[5; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1/3; 5]$. Точка максимума $x_{max} = -1/3$, $y(-1/3) = \frac{320}{27}$. Точка минимума $x_{min} = 5$, $y(5) = -64$.

г) $y = 2x^3 - 21x^2 + 19$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (2x^3 - 21x^2 + 19)' = 6x^2 - 42x$.

3. Найдем критические точки:

$6x^2 - 42x = 0 \implies 6x(x-7) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 7$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 7)$, $(7; +\infty)$. График производной — парабола с ветвями вверх.

- На интервале $(-\infty; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(0; 7)$, $y' < 0$, функция убывает.

- На интервале $(7; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=0$ — максимум, в точке $x=7$ — минимум.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_{max} = y(0) = 2(0)^3 - 21(0)^2 + 19 = 19$.

$y_{min} = y(7) = 2(7)^3 - 21(7)^2 + 19 = 2 \cdot 343 - 21 \cdot 49 + 19 = 686 - 1029 + 19 = -324$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[7; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 7]$. Точка максимума $x_{max} = 0$, $y(0) = 19$. Точка минимума $x_{min} = 7$, $y(7) = -324$.