Страница 254, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в каждой из указанных точек:

43.9. а) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } |x| \ge 1, \\ 1 - x^2, & \text{если } |x| < 1, \end{cases}$ $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 3;$

б) $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } x \ge 0, \\ 2 - x^2, & \text{если } x < 0, \end{cases}$ $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 2;$

в) $f(x) = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \le 0, \\ \sqrt{5x}, & \text{если } x > 0, \end{cases}$ $x_1 = -1, x_2 = 1, x_3 = 5;$

г) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{4 - 2x}, & \text{если } x \le 2, \\ x - 2, & \text{если } x > 2, \end{cases}$ $x_1 = -2, x_2 = 2, x_3 = 5.$

а)

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } |x| \ge 1 \\ 1 - x^2, & \text{если } |x| < 1 \end{cases}$.

Найдем производную функции для каждого интервала. Условие $|x| \ge 1$ эквивалентно $x \le -1$ или $x \ge 1$. Условие $|x| < 1$ эквивалентно $-1 < x < 1$.

При $|x| > 1$, то есть при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, производная равна $f'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$.

При $|x| < 1$, то есть при $x \in (-1, 1)$, производная равна $f'(x) = (1 - x^2)' = -2x$.

В точках $x = -1$ и $x = 1$ функция недифференцируема, так как односторонние производные в этих точках не совпадают.

Теперь вычислим угловые коэффициенты в указанных точках:

1. Для точки $x_1 = -2$: так как $|-2| = 2 \ge 1$, то $f'(x) = 2x$. Угловой коэффициент $k_1 = f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.

2. Для точки $x_2 = 0$: так как $|0| = 0 < 1$, то $f'(x) = -2x$. Угловой коэффициент $k_2 = f'(0) = -2 \cdot 0 = 0$.

3. Для точки $x_3 = 3$: так как $|3| = 3 \ge 1$, то $f'(x) = 2x$. Угловой коэффициент $k_3 = f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: в точке $x_1 = -2$ угловой коэффициент равен -4; в точке $x_2 = 0$ он равен 0; в точке $x_3 = 3$ он равен 6.

б)

Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } x \ge 0 \\ 2 - x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

Найдем производную функции:

При $x > 0$, $f'(x) = (x^2 + 2)' = 2x$.

При $x < 0$, $f'(x) = (2 - x^2)' = -2x$.

Проверим дифференцируемость в точке $x = 0$.Сначала проверим непрерывность: $f(0) = 0^2+2 = 2$, $\lim_{x\to0^-} (2-x^2) = 2$. Функция непрерывна.Найдем односторонние производные в точке $x = 0$:Правая производная: $f'_+(0) = \lim_{x\to0^+} 2x = 0$.Левая производная: $f'_{-}(0) = \lim_{x\to0^-} (-2x) = 0$.Так как $f'_+(0) = f'_-(0) = 0$, функция дифференцируема в точке $x=0$, и $f'(0) = 0$.

Теперь вычислим угловые коэффициенты в указанных точках:

1. Для точки $x_1 = -1$: так как $-1 < 0$, то $f'(x) = -2x$. Угловой коэффициент $k_1 = f'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$.

2. Для точки $x_2 = 0$: как мы выяснили, $f'(0) = 0$. Угловой коэффициент $k_2 = 0$.

3. Для точки $x_3 = 2$: так как $2 > 0$, то $f'(x) = 2x$. Угловой коэффициент $k_3 = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.

Ответ: в точке $x_1 = -1$ угловой коэффициент равен 2; в точке $x_2 = 0$ он равен 0; в точке $x_3 = 2$ он равен 4.

в)

Дана функция $f(x) = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \le 0 \\ \sqrt{5x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

Найдем производную функции:

При $x < 0$, $f'(x) = (-3x)' = -3$.

При $x > 0$, $f'(x) = (\sqrt{5x})' = ( (5x)^{\frac{1}{2}} )' = \frac{1}{2}(5x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 5 = \frac{5}{2\sqrt{5x}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}$.

В точке $x=0$ функция непрерывна, но недифференцируема, так как левая производная $f'_-(0) = -3$, а правая производная $f'_+(0) = \lim_{x\to0^+} \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}} = +\infty$.

Вычислим угловые коэффициенты в указанных точках:

1. Для точки $x_1 = -1$: так как $-1 \le 0$, то $f'(x) = -3$. Угловой коэффициент $k_1 = f'(-1) = -3$.

2. Для точки $x_2 = 1$: так как $1 > 0$, то $f'(x) = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}$. Угловой коэффициент $k_2 = f'(1) = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

3. Для точки $x_3 = 5$: так как $5 > 0$, то $f'(x) = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}$. Угловой коэффициент $k_3 = f'(5) = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: в точке $x_1 = -1$ угловой коэффициент равен -3; в точке $x_2 = 1$ он равен $\frac{\sqrt{5}}{2}$; в точке $x_3 = 5$ он равен $\frac{1}{2}$.

г)

Дана функция $f(x) = \begin{cases} \sqrt{4 - 2x}, & \text{если } x \le 2 \\ x - 2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.

Найдем производную функции:

При $x < 2$, $f'(x) = (\sqrt{4 - 2x})' = ( (4-2x)^{\frac{1}{2}} )' = \frac{1}{2}(4-2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2) = \frac{-1}{\sqrt{4 - 2x}}$.

При $x > 2$, $f'(x) = (x - 2)' = 1$.

Вычислим угловые коэффициенты в указанных точках:

1. Для точки $x_1 = -2$: так как $-2 < 2$, то $f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{4 - 2x}}$. Угловой коэффициент $k_1 = f'(-2) = \frac{-1}{\sqrt{4 - 2(-2)}} = \frac{-1}{\sqrt{4+4}} = \frac{-1}{\sqrt{8}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

2. Для точки $x_2 = 2$: Проверим дифференцируемость. Функция непрерывна в точке $x=2$, так как $f(2)=\sqrt{4-4}=0$ и $\lim_{x\to2^+}(x-2) = 0$.Найдем односторонние производные:Левая производная: $f'_-(2) = \lim_{x\to2^-} \frac{-1}{\sqrt{4 - 2x}} = -\infty$.Правая производная: $f'_+(2) = \lim_{x\to2^+} 1 = 1$.Поскольку односторонние производные не равны (и левая производная не является конечным числом), функция не является дифференцируемой в точке $x=2$. Касательная в этой точке имеет излом, поэтому угловой коэффициент не существует.

3. Для точки $x_3 = 5$: так как $5 > 2$, то $f'(x) = 1$. Угловой коэффициент $k_3 = f'(5) = 1$.

Ответ: в точке $x_1 = -2$ угловой коэффициент равен $-\frac{\sqrt{2}}{4}$; в точке $x_2 = 2$ угловой коэффициент не существует; в точке $x_3 = 5$ он равен 1.

43.10. a) $f(x) = x^2 - 9|x| + 14$, $x_1 = -7$, $x_2 = 4,5$, $x_3 = 8$;

б) $f(x) = x^2 - 4|x| - 12$, $x_1 = -3$, $x_2 = -2$, $x_3 = 2$.

а) Для функции $f(x) = x^2 - 9|x| + 14$ найдем ее значения в заданных точках.
Для решения подставим заданные значения $x$ в формулу функции. Учтем, что $|x| = x$ при $x \ge 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$. Также заметим, что $x^2 = (-x)^2$.

При $x_1 = -7$:

$f(-7) = (-7)^2 - 9|-7| + 14 = 49 - 9 \cdot 7 + 14 = 49 - 63 + 14 = -14 + 14 = 0$.

При $x_2 = 4,5$:

$f(4,5) = (4,5)^2 - 9|4,5| + 14 = 20,25 - 9 \cdot 4,5 + 14 = 20,25 - 40,5 + 14 = -20,25 + 14 = -6,25$.

При $x_3 = 8$:

$f(8) = 8^2 - 9|8| + 14 = 64 - 9 \cdot 8 + 14 = 64 - 72 + 14 = -8 + 14 = 6$.

Ответ: $f(-7) = 0$; $f(4,5) = -6,25$; $f(8) = 6$.

б) Для функции $f(x) = x^2 - 4|x| - 12$ найдем ее значения в заданных точках.
Подставим заданные значения $x$ в формулу функции.

При $x_1 = -3$:

$f(-3) = (-3)^2 - 4|-3| - 12 = 9 - 4 \cdot 3 - 12 = 9 - 12 - 12 = -3 - 12 = -15$.

При $x_2 = -2$:

$f(-2) = (-2)^2 - 4|-2| - 12 = 4 - 4 \cdot 2 - 12 = 4 - 8 - 12 = -4 - 12 = -16$.

При $x_3 = 2$:

$f(2) = 2^2 - 4|2| - 12 = 4 - 4 \cdot 2 - 12 = 4 - 8 - 12 = -4 - 12 = -16$.

Ответ: $f(-3) = -15$; $f(-2) = -16$; $f(2) = -16$.

43.11. a) $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$, $x_1 = 0$, $x_2 = 2.5$, $x_3 = 4$;

б) $f(x) = |-x^2 + 2x + 3|$, $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$.

а) Для функции $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ найдем значения в заданных точках. Для этого подставим значения $x$ в выражение функции.

При $x_1 = 0$:

$f(0) = |0^2 - 5 \cdot 0 + 6| = |0 - 0 + 6| = |6| = 6$.

При $x_2 = 2.5$:

$f(2.5) = |(2.5)^2 - 5 \cdot 2.5 + 6| = |6.25 - 12.5 + 6| = |-0.25| = 0.25$.

При $x_3 = 4$:

$f(4) = |4^2 - 5 \cdot 4 + 6| = |16 - 20 + 6| = |-4 + 6| = |2| = 2$.

Ответ: $f(0)=6$; $f(2.5)=0.25$; $f(4)=2$.

б) Для функции $f(x) = |-x^2 + 2x + 3|$ найдем значения в заданных точках. Для этого подставим значения $x$ в выражение функции.

При $x_1 = -2$:

$f(-2) = |-(-2)^2 + 2(-2) + 3| = |-(4) - 4 + 3| = |-4 - 4 + 3| = |-5| = 5$.

При $x_2 = 1$:

$f(1) = |-(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3| = |-1 + 2 + 3| = |1 + 3| = |4| = 4$.

При $x_3 = 2$:

$f(2) = |-(2)^2 + 2 \cdot 2 + 3| = |-4 + 4 + 3| = |0 + 3| = |3| = 3$.

Ответ: $f(-2)=5$; $f(1)=4$; $f(2)=3$.

Найдите ту точку графика функции $y = f(x)$, в которой угловой коэффициент касательной равен $k$:

43.12. а) $f(x) = 1.5x^2 - x + 1, k = 2;$

б) $f(x) = x + \frac{1}{x}, k = 3;$

в) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x, k = 1;$

г) $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}, k = -3.$

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной к графику функции в этой точке. То есть, $k = f'(x_0)$. Чтобы найти искомую точку $(x_0, y_0)$, нужно:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Решить уравнение $f'(x) = k$, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$.
3. Вычислить ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = 1,5x^2 - x + 1$ и угловой коэффициент $k=2$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (1,5x^2 - x + 1)' = 1,5 \cdot 2x - 1 = 3x - 1$.

2. Приравниваем производную к заданному угловому коэффициенту $k=2$ и решаем уравнение относительно $x$:

$3x - 1 = 2$

$3x = 3$

$x = 1$.

3. Находим ординату точки, подставив найденное значение $x=1$ в исходную функцию:

$y = f(1) = 1,5(1)^2 - 1 + 1 = 1,5 - 1 + 1 = 1,5$.

Искомая точка имеет координаты $(1; 1,5)$.

Ответ: $(1; 1,5)$.

б) Дана функция $f(x) = x + \frac{1}{x}$ и угловой коэффициент $k=3$.

1. Находим производную функции. Для удобства запишем функцию как $f(x) = x + x^{-1}$:

$f'(x) = (x + x^{-1})' = 1 - 1 \cdot x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.

2. Приравниваем производную к $k=3$:

$1 - \frac{1}{x^2} = 3$

$-\frac{1}{x^2} = 2$

$x^2 = -\frac{1}{2}$.

3. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, на графике данной функции нет точек, в которых угловой коэффициент касательной равен 3.

Ответ: таких точек не существует.

в) Дана функция $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ и угловой коэффициент $k=1$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + x)' = 3x^2 - 4x + 1$.

2. Приравниваем производную к $k=1$:

$3x^2 - 4x + 1 = 1$

$3x^2 - 4x = 0$

$x(3x - 4) = 0$.

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{4}{3}$.

3. Находим ординаты для каждого значения $x$:

При $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 = 0$.

Первая точка: $(0; 0)$.

При $x_2 = \frac{4}{3}$:

$y_2 = f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + \frac{4}{3} = \frac{64}{27} - 2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{4}{3} = \frac{64}{27} - \frac{32}{9} + \frac{4}{3} = \frac{64 - 96 + 36}{27} = \frac{4}{27}$.

Вторая точка: $(\frac{4}{3}; \frac{4}{27})$.

Ответ: $(0; 0)$ и $(\frac{4}{3}; \frac{4}{27})$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ и угловой коэффициент $k=-3$.

1. Находим производную функции. Запишем функцию как $f(x) = \frac{1}{2}x + 2x^{-1}$:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x + 2x^{-1})' = \frac{1}{2} - 2x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.

2. Приравниваем производную к $k=-3$:

$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = -3$

$-\frac{2}{x^2} = -3 - \frac{1}{2}$

$-\frac{2}{x^2} = -\frac{7}{2}$

$x^2 = \frac{4}{7}$.

Уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{4}{7}} = -\frac{2}{\sqrt{7}}$.

3. Находим ординаты для каждого значения $x$:

При $x_1 = \frac{2}{\sqrt{7}}$:

$y_1 = f(\frac{2}{\sqrt{7}}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} + \frac{2}{\frac{2}{\sqrt{7}}} = \frac{1}{\sqrt{7}} + \sqrt{7} = \frac{1+7}{\sqrt{7}} = \frac{8}{\sqrt{7}}$.

Первая точка: $(\frac{2}{\sqrt{7}}; \frac{8}{\sqrt{7}})$.

При $x_2 = -\frac{2}{\sqrt{7}}$:

$y_2 = f(-\frac{2}{\sqrt{7}}) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{\sqrt{7}}) + \frac{2}{-\frac{2}{\sqrt{7}}} = -\frac{1}{\sqrt{7}} - \sqrt{7} = -\frac{1+7}{\sqrt{7}} = -\frac{8}{\sqrt{7}}$.

Вторая точка: $(-\frac{2}{\sqrt{7}}; -\frac{8}{\sqrt{7}})$.

Ответ: $(\frac{2}{\sqrt{7}}; \frac{8}{\sqrt{7}})$ и $(-\frac{2}{\sqrt{7}}; -\frac{8}{\sqrt{7}})$.

43.13. a) $f(x) = \arcsin 2x, k = 2$;

б) $f(x) = x - \arccos x, k = 2$;

в) $f(x) = 3 + \operatorname{arctg} x, k = \frac{1}{2}$;

г) $f(x) = \operatorname{arcctg} 3x, k = 3$.

а) Для нахождения значения $x$, при котором угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = \arcsin(2x)$ равен $k=2$, необходимо найти производную функции и решить уравнение $f'(x) = k$.

1. Найдём производную функции $f(x) = \arcsin(2x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ и формулу производной арксинуса $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.
$f'(x) = (\arcsin(2x))' = \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot (2x)' = \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

2. Приравняем производную к заданному значению $k=2$:
$\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} = 2$.

3. Решим полученное уравнение:
$\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} = 1$
$\sqrt{1-4x^2} = 1$
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$1 - 4x^2 = 1$
$4x^2 = 0$
$x = 0$.
Область определения производной: $1-4x^2 > 0$, что равносильно $x^2 < 1/4$, или $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$. Значение $x=0$ входит в эту область.
Ответ: $x = 0$.

б) Для нахождения значения $x$, при котором угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = x - \arccos x$ равен $k=2$, найдём производную функции и решим уравнение $f'(x) = k$.

1. Найдём производную функции $f(x) = x - \arccos x$. Используем формулу производной арккосинуса $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
$f'(x) = (x - \arccos x)' = (x)' - (\arccos x)' = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = 1 + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

2. Приравняем производную к $k=2$:
$1 + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 2$.

3. Решим уравнение:
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1$
$\sqrt{1-x^2} = 1$
Возведём обе части в квадрат:
$1 - x^2 = 1$
$x^2 = 0$
$x = 0$.
Область определения производной: $1-x^2 > 0$, что равносильно $x^2 < 1$, или $-1 < x < 1$. Значение $x=0$ входит в эту область.
Ответ: $x = 0$.

в) Для нахождения значения $x$, при котором угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = 3 + \arctan x$ равен $k=\frac{1}{2}$, найдём производную функции и решим уравнение $f'(x) = k$.

1. Найдём производную функции $f(x) = 3 + \arctan x$. Используем формулу производной арктангенса $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$.
$f'(x) = (3 + \arctan x)' = (3)' + (\arctan x)' = 0 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$.

2. Приравняем производную к $k=\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2}$.

3. Решим уравнение:
$1 + x^2 = 2$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$.
Область определения производной — все действительные числа. Оба значения являются решениями.
Ответ: $x = -1; x = 1$.

г) Для нахождения значения $x$, при котором угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = \text{arcctg } 3x$ равен $k=-3$, найдём производную функции и решим уравнение $f'(x) = k$.

1. Найдём производную функции $f(x) = \text{arcctg } 3x$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции и формулу производной арккотангенса $(\text{arcctg } u)' = -\frac{1}{1+u^2}$.
$f'(x) = (\text{arcctg}(3x))' = -\frac{1}{1+(3x)^2} \cdot (3x)' = -\frac{1}{1+9x^2} \cdot 3 = -\frac{3}{1+9x^2}$.

2. Приравняем производную к $k=-3$:
$-\frac{3}{1+9x^2} = -3$.

3. Решим уравнение:
$\frac{1}{1+9x^2} = 1$
$1 = 1 + 9x^2$
$9x^2 = 0$
$x = 0$.
Область определения производной — все действительные числа. Значение $x=0$ является решением.
Ответ: $x = 0$.

Какой угол образует с осью x касательная, проведённая к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

43.14. a) $f(x) = 4 + x^2$, $a = 2$;

б) $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$, $a = 3$;

в) $f(x) = (1 - x)^3$, $a = -3$;

г) $f(x) = 2x - x^3$, $a = 1?$

Угол $\alpha$, который образует касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=a$ с положительным направлением оси Ox, определяется из геометрического смысла производной. Тангенс этого угла равен значению производной функции в точке касания: $\tan(\alpha) = f'(a)$.

а) Дана функция $f(x) = 4 + x^2$ и точка $a = 2$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (4 + x^2)' = 2x$.

2. Вычислим значение производной в точке $a=2$, чтобы найти тангенс угла наклона касательной:

$k = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.

3. Угол $\alpha$ находим из соотношения $\tan(\alpha) = 4$:

$\alpha = \arctan(4)$.

Ответ: $\arctan(4)$.

б) Дана функция $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$ и точка $a = 3$.

1. Найдем производную функции. Для удобства запишем функцию в виде $f(x) = 1 - x^{-1}$:

$f'(x) = (1 - x^{-1})' = -(-1)x^{-1-1} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

2. Вычислим значение производной в точке $a=3$:

$k = f'(3) = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

3. Угол $\alpha$ находим из соотношения $\tan(\alpha) = \frac{1}{9}$:

$\alpha = \arctan(\frac{1}{9})$.

Ответ: $\arctan(\frac{1}{9})$.

в) Дана функция $f(x) = (1 - x)^3$ и точка $a = -3$.

1. Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = ((1 - x)^3)' = 3(1-x)^2 \cdot (1-x)' = 3(1-x)^2 \cdot (-1) = -3(1-x)^2$.

2. Вычислим значение производной в точке $a=-3$:

$k = f'(-3) = -3(1 - (-3))^2 = -3(1+3)^2 = -3 \cdot 4^2 = -3 \cdot 16 = -48$.

3. Угол $\alpha$ находим из соотношения $\tan(\alpha) = -48$:

$\alpha = \arctan(-48)$.

Ответ: $\arctan(-48)$.

г) Дана функция $f(x) = 2x - x^3$ и точка $a = 1$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x - x^3)' = 2 - 3x^2$.

2. Вычислим значение производной в точке $a=1$:

$k = f'(1) = 2 - 3 \cdot 1^2 = 2 - 3 = -1$.

3. Угол $\alpha$ находим из соотношения $\tan(\alpha) = -1$. Этому значению тангенса соответствует угол $135^\circ$ или $\frac{3\pi}{4}$ радиан, лежащий в промежутке $[0, 180^\circ)$.

$\alpha = 135^\circ$ (или $\frac{3\pi}{4}$).

Ответ: $135^\circ$ (или $\frac{3\pi}{4}$).