Страница 252, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3. Дано тождество $f(x) = 2 \sin 9x \cos 5x$. Какое из утверждений верно:

a) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 14x + \cos 4x;$

в) $f(x) = \cos 14x - \cos 4x;$

г) $f(x) = \sin 4x + \sin 14x?$

Для того чтобы определить, какое из предложенных утверждений является верным, необходимо преобразовать исходное выражение $f(x) = 2 \sin 9x \cos 5x$ из произведения тригонометрических функций в их сумму, используя соответствующую формулу.

Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов:

$2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$

В нашем выражении $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы преобразовать $f(x)$:

$f(x) = \sin(9x + 5x) + \sin(9x - 5x)$

Выполнив арифметические действия в аргументах синусов, получаем итоговое выражение для $f(x)$:

$f(x) = \sin(14x) + \sin(4x)$

Теперь необходимо сравнить полученный результат с каждым из предложенных утверждений.

а) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x$. Это утверждение не совпадает с полученным выражением $f(x) = \sin(14x) + \sin(4x)$. Следовательно, оно неверно.

б) $f(x) = \cos 14x + \cos 4x$. Это утверждение содержит функции косинуса, а не синуса, и не соответствует результату. Следовательно, оно неверно.

в) $f(x) = \cos 14x - \cos 4x$. Это утверждение также содержит функции косинуса, а не синуса, и не является правильным. Следовательно, оно неверно.

г) $f(x) = \sin 4x + \sin 14x$. Это утверждение совпадает с полученным нами выражением $f(x) = \sin(14x) + \sin(4x)$, так как сложение коммутативно, то есть порядок слагаемых не влияет на результат: $\sin(14x) + \sin(4x) = \sin(4x) + \sin(14x)$. Следовательно, это утверждение верно.

Ответ: г)

43.2. Укажите точки, в которых производная равна нулю, и

точки, в которых производная не существует, если график функции изображён на заданном рисунке:

а) рис. 92;

б) рис. 93;

в) рис. 94;

г) рис. 95.

Рис. 92

Рис. 93

Рис. 94

Рис. 95

Для решения задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Производная функции в точке равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в этой точке.

• Производная равна нулю ($f'(x) = 0$) в точках, где касательная к графику горизонтальна. Это происходит в точках локальных максимумов и минимумов (точках экстремума).
• Производная не существует в точках, где график имеет "излом" (угол) или "касп" (острый пик), а также в точках с вертикальной касательной. В таких точках невозможно провести единственную касательную.

а) рис. 92;

Производная равна нулю в точках экстремума, где касательная горизонтальна. На данном графике это точка локального минимума $x=1$ и точка локального максимума $x=3.5$.

Производная не существует в точке $x=-1$, так как в этой точке график имеет острый пик (касп).

Ответ: производная равна нулю в точках $x=1$ и $x=3.5$; производная не существует в точке $x=-1$.

б) рис. 93;

Производная равна нулю в точках, где касательная горизонтальна. Это точка локального максимума $x=-4$ и точка локального минимума $x=-1.5$.

Производная не существует в точке $x=4$, где график имеет острый пик.

Ответ: производная равна нулю в точках $x=-4$ и $x=-1.5$; производная не существует в точке $x=4$.

в) рис. 94;

Производная равна нулю в точке локального минимума $x=-4$, так как в этой точке касательная к графику горизонтальна.

Производная не существует в точке $x=-2$, поскольку в этой точке график имеет излом (угол).

Ответ: производная равна нулю в точке $x=-4$; производная не существует в точке $x=-2$.

г) рис. 95.

Производная равна нулю в точке локального минимума $x=-2$, где касательная к графику горизонтальна.

На всем показанном участке график является гладкой кривой, не имеющей изломов или острых пиков. Следовательно, точек, в которых производная не существует, на данном графике нет.

Ответ: производная равна нулю в точке $x=-2$; точек, в которых производная не существует, нет.

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

43.3. a) $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3, a = -1;$

б) $f(x) = \frac{x - 1}{x + 3}, a = 1;$

в) $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45, a = 0;$

г) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}, a = 1.$

а) Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, равен значению производной функции в этой точке. Это значение обозначается как $k = f'(a)$.
Для функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3$ в точке $a = -1$ сначала найдем ее производную.
Используя правила дифференцирования, получаем:
$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)' = (x^3)' - (2x^2)' + (3)' = 3x^2 - 4x$.
Теперь подставим значение $a = -1$ в выражение для производной, чтобы найти угловой коэффициент $k$:
$k = f'(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) = 3 \cdot 1 + 4 = 7$.
Ответ: 7

б) Для функции $f(x) = \frac{x-1}{x+3}$ в точке $a = 1$ найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = x - 1$ и $v(x) = x + 3$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 1$.
$f'(x) = \frac{(x-1)'(x+3) - (x-1)(x+3)'}{(x+3)^2} = \frac{1 \cdot (x+3) - (x-1) \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{x+3 - x + 1}{(x+3)^2} = \frac{4}{(x+3)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $a = 1$:
$k = f'(1) = \frac{4}{(1+3)^2} = \frac{4}{4^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Для функции $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$ в точке $a = 0$ найдем ее производную.
$f'(x) = (x^4 - 7x^3 + 12x - 45)' = 4x^3 - 7 \cdot 3x^2 + 12 - 0 = 4x^3 - 21x^2 + 12$.
Теперь вычислим значение производной в точке $a = 0$:
$k = f'(0) = 4(0)^3 - 21(0)^2 + 12 = 0 - 0 + 12 = 12$.
Ответ: 12

г) Для функции $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ в точке $a = 1$ найдем производную по правилу дифференцирования частного.
Пусть $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = x + 1$. Тогда $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 1$.
$f'(x) = \frac{(2x-1)'(x+1) - (2x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - (2x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $a = 1$:
$k = f'(1) = \frac{3}{(1+1)^2} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$