Номер 43.3, страница 252, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

43.3. a) $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3, a = -1;$

б) $f(x) = \frac{x - 1}{x + 3}, a = 1;$

в) $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45, a = 0;$

г) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}, a = 1.$

а) Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, равен значению производной функции в этой точке. Это значение обозначается как $k = f'(a)$.
Для функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3$ в точке $a = -1$ сначала найдем ее производную.
Используя правила дифференцирования, получаем:
$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)' = (x^3)' - (2x^2)' + (3)' = 3x^2 - 4x$.
Теперь подставим значение $a = -1$ в выражение для производной, чтобы найти угловой коэффициент $k$:
$k = f'(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) = 3 \cdot 1 + 4 = 7$.
Ответ: 7

б) Для функции $f(x) = \frac{x-1}{x+3}$ в точке $a = 1$ найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = x - 1$ и $v(x) = x + 3$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 1$.
$f'(x) = \frac{(x-1)'(x+3) - (x-1)(x+3)'}{(x+3)^2} = \frac{1 \cdot (x+3) - (x-1) \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{x+3 - x + 1}{(x+3)^2} = \frac{4}{(x+3)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $a = 1$:
$k = f'(1) = \frac{4}{(1+3)^2} = \frac{4}{4^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Для функции $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$ в точке $a = 0$ найдем ее производную.
$f'(x) = (x^4 - 7x^3 + 12x - 45)' = 4x^3 - 7 \cdot 3x^2 + 12 - 0 = 4x^3 - 21x^2 + 12$.
Теперь вычислим значение производной в точке $a = 0$:
$k = f'(0) = 4(0)^3 - 21(0)^2 + 12 = 0 - 0 + 12 = 12$.
Ответ: 12

г) Для функции $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ в точке $a = 1$ найдем производную по правилу дифференцирования частного.
Пусть $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = x + 1$. Тогда $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 1$.
$f'(x) = \frac{(2x-1)'(x+1) - (2x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - (2x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $a = 1$:
$k = f'(1) = \frac{3}{(1+1)^2} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$