Номер 43.5, страница 253, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.5. a) $f(x) = \sin x, a = 0;$

В) $f(x) = \cos 3x, a = \frac{\pi}{2};$

б) $f(x) = \operatorname{tg} 2x, a = \frac{\pi}{8};$

Г) $f(x) = \operatorname{ctg} x, a = \frac{\pi}{3}.$

а) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $a = 0$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$.

Производная синуса: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Теперь подставим значение $a = 0$ в найденную производную, чтобы найти значение производной в этой точке:

$f'(0) = \cos(0) = 1$.

Ответ: $1$.

б) Дана функция $f(x) = \operatorname{tg} 2x$ и точка $a = \frac{\pi}{8}$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть $u = 2x$, тогда $f(u) = \operatorname{tg} u$.

$f'(x) = (\operatorname{tg} 2x)' = (\operatorname{tg} u)' \cdot u'(x) = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot (2x)' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Подставим значение $a = \frac{\pi}{8}$ в производную:

$f'(\frac{\pi}{8}) = \frac{2}{\cos^2(2 \cdot \frac{\pi}{8})} = \frac{2}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$.

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Вычисляем значение производной:

$f'(\frac{\pi}{8}) = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$.

Ответ: $4$.

в) Дана функция $f(x) = \cos 3x$ и точка $a = \frac{\pi}{2}$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = 3x$, тогда $f(u) = \cos u$.

$f'(x) = (\cos 3x)' = (\cos u)' \cdot u'(x) = -\sin u \cdot (3x)' = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$.

Подставим значение $a = \frac{\pi}{2}$ в производную:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -3\sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = -3\sin(\frac{3\pi}{2})$.

Мы знаем, что $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Вычисляем значение производной:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -3 \cdot (-1) = 3$.

Ответ: $3$.

г) Дана функция $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и точка $a = \frac{\pi}{3}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$.

Производная котангенса: $f'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставим значение $a = \frac{\pi}{3}$ в производную:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{3})}$.

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Вычисляем значение производной:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.