Номер 43.27, страница 256, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.27. a) $f(x) = \sin^3 2x, a = \frac{\pi}{12};$

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\text{arctg } 3x}, a = \frac{1}{3};$

в) $f(x) = \cos^2 2x, a = \frac{\pi}{8};$

г) $f(x) = 2 \text{arctg } (3x^2) + 3 \text{arctg } (2x^3), a = 0.$

а)

Дана функция $f(x) = \sin^3 2x$ и точка $a = \frac{\pi}{12}$. Требуется найти значение производной функции в точке $a$, то есть $f'(a)$.

1. Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это производная сложной функции, поэтому применим цепное правило. Пусть $u(x) = \sin 2x$, тогда $f(x) = u^3$. Производная $f'(x)$ будет равна $3u^2 \cdot u'$. Найдем $u' = (\sin 2x)'$. Это также сложная функция. Ее производная равна $\cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$. Соберем все вместе: $f'(x) = 3(\sin 2x)^2 \cdot (2\cos 2x) = 6 \sin^2 2x \cos 2x$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{12}$. $f'(\frac{\pi}{12}) = 6 \sin^2 (2 \cdot \frac{\pi}{12}) \cos (2 \cdot \frac{\pi}{12}) = 6 \sin^2 (\frac{\pi}{6}) \cos (\frac{\pi}{6})$. Мы знаем табличные значения: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим их в выражение: $f'(\frac{\pi}{12}) = 6 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\operatorname{arctg} 3x}$ и точка $a = \frac{1}{3}$. Требуется найти значение производной $f'(a)$.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции. Запишем функцию в виде $f(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}}(\operatorname{arctg} 3x)^{1/2}$. $f'(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{d}{dx}[(\operatorname{arctg} 3x)^{1/2}] = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{2}(\operatorname{arctg} 3x)^{-1/2} \cdot (\operatorname{arctg} 3x)'$. Производная от арктангенса: $(\operatorname{arctg} 3x)' = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot (3x)' = \frac{3}{1+9x^2}$. Подставим это в выражение для $f'(x)$: $f'(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\operatorname{arctg} 3x}} \cdot \frac{3}{1+9x^2} = \frac{6}{\sqrt{\pi}(1+9x^2)\sqrt{\operatorname{arctg} 3x}}$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{1}{3}$. $f'(\frac{1}{3}) = \frac{6}{\sqrt{\pi}(1+9(\frac{1}{3})^2)\sqrt{\operatorname{arctg} (3 \cdot \frac{1}{3})}} = \frac{6}{\sqrt{\pi}(1+9 \cdot \frac{1}{9})\sqrt{\operatorname{arctg} 1}}$. Мы знаем, что $\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$. $f'(\frac{1}{3}) = \frac{6}{\sqrt{\pi}(1+1)\sqrt{\frac{\pi}{4}}} = \frac{6}{\sqrt{\pi} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}} = \frac{6}{\pi}$.

Ответ: $\frac{6}{\pi}$.

в)

Дана функция $f(x) = \cos^2 2x$ и точка $a = \frac{\pi}{8}$. Требуется найти значение производной $f'(a)$.

1. Сначала найдем производную функции $f(x)$. Удобно использовать формулу понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}$. $f(x) = \frac{1+\cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x$. Находим производную: $f'(x) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x)' = 0 + \frac{1}{2}(-\sin 4x) \cdot (4x)' = \frac{1}{2}(-\sin 4x) \cdot 4 = -2\sin 4x$. Альтернативный способ: по цепному правилу $f'(x) = 2\cos(2x) \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = -4\sin(2x)\cos(2x)$. Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем $f'(x) = -2\sin(4x)$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{8}$. $f'(\frac{\pi}{8}) = -2\sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = -2\sin(\frac{\pi}{2})$. Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. $f'(\frac{\pi}{8}) = -2 \cdot 1 = -2$.

Ответ: $-2$.

г)

Дана функция $f(x) = 2 \operatorname{arcctg} (3x^2) + 3 \operatorname{arctg} (2x^3)$ и точка $a = 0$. Требуется найти значение производной $f'(a)$.

1. Найдем производную функции $f(x)$ как сумму производных двух слагаемых. Используем формулы производных: $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{u'}{1+u^2}$ и $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{u'}{1+u^2}$. Производная первого слагаемого: $(2 \operatorname{arcctg} (3x^2))' = 2 \cdot \left(-\frac{(3x^2)'}{1+(3x^2)^2}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{6x}{1+9x^4}\right) = -\frac{12x}{1+9x^4}$. Производная второго слагаемого: $(3 \operatorname{arctg} (2x^3))' = 3 \cdot \left(\frac{(2x^3)'}{1+(2x^3)^2}\right) = 3 \cdot \left(\frac{6x^2}{1+4x^6}\right) = \frac{18x^2}{1+4x^6}$. Таким образом, производная всей функции: $f'(x) = -\frac{12x}{1+9x^4} + \frac{18x^2}{1+4x^6}$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $a = 0$. $f'(0) = -\frac{12 \cdot 0}{1+9 \cdot 0^4} + \frac{18 \cdot 0^2}{1+4 \cdot 0^6} = -\frac{0}{1} + \frac{0}{1} = 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.