Номер 43.32, страница 256, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.32. Напишите уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{x^3}{3} - 2$, которые параллельны заданной прямой:

а) $y = x - 3$;

б) $y = 9x - 5$.

а)

Чтобы касательная к графику функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2$ была параллельна прямой $y = x - 3$, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент прямой $y = x - 3$ равен $k=1$.

Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - 2\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' - (2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 0 = x^2$.

Теперь найдем абсциссы точек касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$:

$x_0^2 = 1$

Это уравнение имеет два решения: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$. Это означает, что существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи.

1. Найдем уравнение касательной для $x_0 = 1$.
Сначала вычислим ординату точки касания: $y_0 = f(1) = \frac{1^3}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{5}{3}$.
Точка касания — $(1, -\frac{5}{3})$.
Используем уравнение касательной $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - (-\frac{5}{3}) = 1 \cdot (x - 1)$
$y + \frac{5}{3} = x - 1$
$y = x - 1 - \frac{5}{3}$
$y = x - \frac{8}{3}$

2. Найдем уравнение касательной для $x_0 = -1$.
Ордината точки касания: $y_0 = f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 2 = -\frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{7}{3}$.
Точка касания — $(-1, -\frac{7}{3})$.
Уравнение касательной:
$y - (-\frac{7}{3}) = 1 \cdot (x - (-1))$
$y + \frac{7}{3} = x + 1$
$y = x + 1 - \frac{7}{3}$
$y = x - \frac{4}{3}$

Ответ: $y = x - \frac{8}{3}$ и $y = x - \frac{4}{3}$.

б)

Касательная должна быть параллельна прямой $y = 9x - 5$. Это значит, что ее угловой коэффициент $k$ должен быть равен 9.

Как мы уже нашли, производная функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2$ равна $f'(x) = x^2$.

Найдем абсциссы точек касания из условия $f'(x_0) = 9$:

$x_0^2 = 9$

Это уравнение имеет два решения: $x_0 = 3$ и $x_0 = -3$. Следовательно, существуют две искомые касательные.

1. Найдем уравнение касательной для $x_0 = 3$.
Ордината точки касания: $y_0 = f(3) = \frac{3^3}{3} - 2 = \frac{27}{3} - 2 = 9 - 2 = 7$.
Точка касания — $(3, 7)$.
Уравнение касательной:
$y - 7 = 9(x - 3)$
$y - 7 = 9x - 27$
$y = 9x - 20$

2. Найдем уравнение касательной для $x_0 = -3$.
Ордината точки касания: $y_0 = f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} - 2 = -\frac{27}{3} - 2 = -9 - 2 = -11$.
Точка касания — $(-3, -11)$.
Уравнение касательной:
$y - (-11) = 9(x - (-3))$
$y + 11 = 9(x + 3)$
$y + 11 = 9x + 27$
$y = 9x + 16$

Ответ: $y = 9x - 20$ и $y = 9x + 16$.