Номер 43.36, страница 257, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.36. a) $f(x) = \cos^2 x$, $y = -x + 3$;

б) $f(x) = \text{arcctg} (x^2)$, $y = -3$;

в) $f(x) = \sqrt{\sin x}$, $y = 5$;

г) $f(x) = (\arcsin x)^2$, $y = -5$?

а) Требуется решить уравнение $\cos^2 x = -x + 3$.
Это трансцендентное уравнение, которое, как правило, не решается аналитически в элементарных функциях. Вместо этого докажем существование и единственность решения.
Рассмотрим две функции: $g(x) = \cos^2 x$ и $h(x) = -x + 3$.
Область значений функции $g(x) = \cos^2 x$ — это отрезок $[0, 1]$, так как $-1 \le \cos x \le 1$, и, следовательно, $0 \le \cos^2 x \le 1$.
Для того чтобы уравнение имело решение, значения функции $h(x)$ также должны принадлежать отрезку $[0, 1]$. Получаем двойное неравенство:$0 \le -x + 3 \le 1$.
Решим эту систему неравенств:
1) $-x + 3 \ge 0 \implies 3 \ge x \implies x \le 3$.
2) $-x + 3 \le 1 \implies 2 \le x$.
Таким образом, если решение существует, оно должно находиться в отрезке $[2, 3]$.
Рассмотрим вспомогательную функцию $F(x) = \cos^2 x - (-x + 3) = \cos^2 x + x - 3$. Решения исходного уравнения являются корнями уравнения $F(x) = 0$.
Вычислим значения $F(x)$ на концах отрезка $[2, 3]$:
$F(2) = \cos^2(2) + 2 - 3 = \cos^2(2) - 1 = -\sin^2(2)$. Так как $2$ радиана находится во второй четверти ($\pi/2 < 2 < \pi$), $\sin(2) > 0$, следовательно $F(2) < 0$.
$F(3) = \cos^2(3) + 3 - 3 = \cos^2(3)$. Так как $3$ радиана также находится во второй четверти ($\pi/2 < 3 < \pi$), $\cos(3) \ne 0$, следовательно $\cos^2(3) > 0$ и $F(3) > 0$.
Функция $F(x)$ непрерывна на отрезке $[2, 3]$, и на его концах принимает значения разного знака ($F(2) < 0$ и $F(3) > 0$). По теореме о промежуточном значении, на интервале $(2, 3)$ существует хотя бы один корень уравнения $F(x)=0$.
Для доказательства единственности корня найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (\cos^2 x + x - 3)' = 2\cos x (-\sin x) + 1 = 1 - \sin(2x)$.
Поскольку область значений функции $\sin(2x)$ — это $[-1, 1]$, то $F'(x) = 1 - \sin(2x) \ge 1 - 1 = 0$.Производная $F'(x)$ всегда неотрицательна, значит, функция $F(x)$ является неубывающей. $F'(x) = 0$ только если $\sin(2x) = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in Z$. Ни одно из этих значений не попадает в отрезок $[2, 3]$. Следовательно, на отрезке $[2, 3]$ производная $F'(x)$ строго положительна, а значит, функция $F(x)$ строго возрастает.
Так как $F(x)$ строго возрастает на $[2, 3]$ и меняет знак с минуса на плюс, она пересекает ось абсцисс ровно один раз. Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: Уравнение имеет единственный корень, который находится в интервале $(2, 3)$.

б) Требуется решить уравнение $\arcctg(x^2) = -3$.
Область значений функции арккотангенс, $y = \arcctg(t)$, есть интервал $(0, \pi)$.
В данном случае аргументом арккотангенса является $x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то аргумент $t = x^2$ принадлежит промежутку $[0, +\infty)$.
Функция арккотангенс является убывающей. На промежутке $[0, +\infty)$ ее значения находятся в полуинтервале $(0, \pi/2]$, так как $\arcctg(0) = \pi/2$ и $\lim_{t\to\infty} \arcctg(t) = 0$.
Таким образом, область значений функции $f(x) = \arcctg(x^2)$ есть $(0, \pi/2]$.
Правая часть уравнения равна $-3$. Число $-3$ не принадлежит области значений функции $f(x)$, так как все ее значения положительны.
Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: Уравнение не имеет решений.

в) Требуется решить уравнение $\sqrt{\sin x} = 5$.
Рассмотрим область значений функции $f(x) = \sqrt{\sin x}$.
Для того чтобы функция была определена, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\sin x \ge 0$.В области определения функции $\sin x$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$.
Следовательно, $\sqrt{\sin x}$ принимает значения из отрезка $[\sqrt{0}, \sqrt{1}]$, то есть $[0, 1]$.
Область значений функции $f(x) = \sqrt{\sin x}$ — это отрезок $[0, 1]$.
В уравнении $\sqrt{\sin x} = 5$ правая часть равна $5$. Число $5$ не принадлежит области значений функции $[0, 1]$.
Другой способ: возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{\sin x})^2 = 5^2$
$\sin x = 25$
Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$. Так как $25$ не входит в этот отрезок, уравнение $\sin x = 25$ не имеет решений.
Ответ: Уравнение не имеет решений.

г) Вопрос: может ли уравнение $(\arcsin x)^2 = -5$ иметь решение?
Рассмотрим левую часть уравнения: $(\arcsin x)^2$.
Функция $y = \arcsin x$ определена для $x \in [-1, 1]$ и принимает значения из отрезка $[-\pi/2, \pi/2]$.
Для любого $x$ из области определения $\arcsin x$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. То есть, $(\arcsin x)^2 \ge 0$ для всех $x \in [-1, 1]$.
Правая часть уравнения равна $-5$, что является отрицательным числом.
Уравнение $(\arcsin x)^2 = -5$ приравнивает неотрицательное число к отрицательному, что невозможно.
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: Нет, это уравнение не может иметь решений, так как квадрат любого действительного числа (в данном случае $\arcsin x$) не может быть отрицательным.