Номер 43.35, страница 257, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.35. а) $f(x) = \sin x, y = -x;$

Б) $f(x) = \cos 3x, y = 0;$

В) $f(x) = \operatorname{tg} x, y = x;$

Г) $f(x) = \sin \frac{x}{2}, y = -1?;$

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \sin x$ и $y = -x$, необходимо решить уравнение $f(x) = y$, то есть $\sin x = -x$.

Перенесем все члены в одну сторону: $\sin x + x = 0$.

Очевидно, что $x=0$ является корнем данного уравнения, так как $\sin 0 + 0 = 0$.

Чтобы определить, есть ли другие корни, рассмотрим функцию $g(x) = \sin x + x$. Найдем ее производную: $g'(x) = (\sin x + x)' = \cos x + 1$.

Поскольку значение косинуса всегда находится в диапазоне $[-1, 1]$, то есть $\cos x \ge -1$, производная $g'(x) = \cos x + 1 \ge 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $g(x)$ является неубывающей на всей числовой прямой.

Производная обращается в ноль только в точках, где $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В остальных точках $g'(x) > 0$. Так как функция является строго возрастающей почти везде (имеет лишь точки перегиба, а не участки постоянства), она может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза.

Поскольку мы уже нашли корень $x=0$, он является единственным.

Ответ: $x=0$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \cos 3x$ и $y = 0$, нужно решить уравнение $\cos 3x = 0$.

Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого числа $k$.

Следовательно, $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части уравнения на 3, получим решение для $x$:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

в) Для нахождения точек пересечения графиков функций $f(x) = \operatorname{tg} x$ и $y = x$ решим уравнение $\operatorname{tg} x = x$.

Очевидным решением является $x=0$, так как $\operatorname{tg} 0 = 0$.

Чтобы исследовать наличие других решений, рассмотрим функцию $g(x) = \operatorname{tg} x - x$. Ее производная равна $g'(x) = (\operatorname{tg} x - x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \sec^2 x - 1 = \operatorname{tg}^2 x$.

Так как $\operatorname{tg}^2 x \ge 0$, функция $g(x)$ является неубывающей на каждом из интервалов своей области определения, то есть на $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$ для $k \in \mathbb{Z}$.

В интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, содержащем решение $x=0$, производная $g'(x) = \operatorname{tg}^2 x > 0$ для всех $x \neq 0$. Это означает, что функция $g(x)$ строго возрастает на этом интервале, и поскольку $g(0) = 0$, других корней в этом интервале нет.

Рассмотрим другие интервалы, например, $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. На границах этого интервала имеем: $\lim_{x \to (\pi/2)^+} g(x) = -\infty$ и $\lim_{x \to (3\pi/2)^-} g(x) = +\infty$. Так как $g(x)$ непрерывна и строго возрастает на этом интервале (производная равна нулю только в точке $x=\pi$), по теореме о промежуточном значении существует ровно один корень.

Аналогичная ситуация повторяется для каждого интервала $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$ при $k \neq 0$. Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений.

Ответ: $x=0$ и бесконечное множество других корней, которые не могут быть выражены через элементарные функции. Для каждого целого $k \neq 0$ существует ровно один корень в интервале $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$.

г) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \sin \frac{x}{2}$ и $y = -1$, решим уравнение $\sin \frac{x}{2} = -1$.

Синус равен -1, когда его аргумент равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ для любого целого числа $k$.

Таким образом, $\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = 2 \cdot (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -\pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.