Номер 43.31, страница 256, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.31. В какой точке касательная к графику функции $y = x^2$ параллельна заданной прямой:

а) $y = 2x + 1;$

б) $y = -\frac{1}{2}x + 5;$

в) $y = \frac{3}{4}x - 2;$

г) $y = -x + 5?$

Чтобы найти точку, в которой касательная к графику функции $y = x^2$ параллельна заданной прямой, необходимо приравнять угловой коэффициент касательной к угловому коэффициенту этой прямой. Угловой коэффициент прямой вида $y = kx + b$ равен $k$. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в точке $x_0$.

1. Найдём производную функции $y = x^2$:

$y' = (x^2)' = 2x$

2. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $y'(x_0) = 2x_0$.

3. Приравниваем $2x_0 = k$ для каждой из заданных прямых, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$.

4. Находим ординату точки касания $y_0$, подставляя найденное значение $x_0$ в исходную функцию: $y_0 = x_0^2$.

а) Для прямой $y = 2x + 1$ угловой коэффициент $k = 2$.

Приравниваем производную к угловому коэффициенту: $2x_0 = 2$.

Отсюда находим абсциссу точки касания: $x_0 = 1$.

Находим соответствующую ординату: $y_0 = 1^2 = 1$.

Искомая точка: $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$.

б) Для прямой $y = -\frac{1}{2}x + 5$ угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$.

Приравниваем производную к угловому коэффициенту: $2x_0 = -\frac{1}{2}$.

Отсюда находим абсциссу точки касания: $x_0 = -\frac{1}{4}$.

Находим соответствующую ординату: $y_0 = (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.

Искомая точка: $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$.

Ответ: $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$.

в) Для прямой $y = \frac{3}{4}x - 2$ угловой коэффициент $k = \frac{3}{4}$.

Приравниваем производную к угловому коэффициенту: $2x_0 = \frac{3}{4}$.

Отсюда находим абсциссу точки касания: $x_0 = \frac{3}{8}$.

Находим соответствующую ординату: $y_0 = (\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}$.

Искомая точка: $(\frac{3}{8}, \frac{9}{64})$.

Ответ: $(\frac{3}{8}, \frac{9}{64})$.

г) Для прямой $y = -x + 5$ угловой коэффициент $k = -1$.

Приравниваем производную к угловому коэффициенту: $2x_0 = -1$.

Отсюда находим абсциссу точки касания: $x_0 = -\frac{1}{2}$.

Находим соответствующую ординату: $y_0 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Искомая точка: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$.