Номер 42.11, страница 247, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.11. a) $y = (x^2 - 3x + 1)^7, x_0 = 1;$

б) $y = \sqrt{\frac{x + 1}{x + 4}}, x_0 = 0;$

в) $y = \sqrt{(x - 1)(x - 4)}, x_0 = 0;$

г) $y = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}\right)^3, x_0 = 1.$

а) $y = (x^2 - 3x + 1)^7$, $x_0 = 1$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $f(u) = u^7$, а внутренняя функция $g(x) = x^2 - 3x + 1$.

Находим производные этих функций:

$f'(u) = 7u^6 = 7(x^2 - 3x + 1)^6$

$g'(x) = (x^2 - 3x + 1)' = 2x - 3$

Теперь перемножаем их, чтобы найти производную исходной функции:

$y' = 7(x^2 - 3x + 1)^6 \cdot (2x - 3)$

Подставляем значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$y'(1) = 7(1^2 - 3 \cdot 1 + 1)^6 \cdot (2 \cdot 1 - 3)$

$y'(1) = 7(1 - 3 + 1)^6 \cdot (2 - 3)$

$y'(1) = 7(-1)^6 \cdot (-1)$

$y'(1) = 7 \cdot 1 \cdot (-1) = -7$

Ответ: $-7$

б) $y = \sqrt{\frac{x + 1}{x + 4}}$, $x_0 = 0$

Представим функцию в виде $y = \left(\frac{x + 1}{x + 4}\right)^{1/2}$. Это сложная функция, для дифференцирования которой применим цепное правило и правило дифференцирования частного.

Пусть $u(x) = \frac{x + 1}{x + 4}$, тогда $y(u) = u^{1/2}$.

Производная внешней функции: $y'(u) = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x + 1}{x + 4}}}$.

Производная внутренней функции (по правилу частного $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$):

$u'(x) = \left(\frac{x + 1}{x + 4}\right)' = \frac{(x+1)'(x+4) - (x+1)(x+4)'}{(x+4)^2} = \frac{1 \cdot (x+4) - (x+1) \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{x+4-x-1}{(x+4)^2} = \frac{3}{(x+4)^2}$.

Общая производная $y' = y'(u) \cdot u'(x)$:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x + 1}{x + 4}}} \cdot \frac{3}{(x + 4)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$y'(0) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{0 + 1}{0 + 4}}} \cdot \frac{3}{(0 + 4)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{3}{16} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{16} = 1 \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$

в) $y = \sqrt{(x - 1)(x - 4)}$, $x_0 = 0$

Сначала раскроем скобки под корнем: $(x - 1)(x - 4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4$.

Таким образом, функция имеет вид $y = \sqrt{x^2 - 5x + 4}$ или $y = (x^2 - 5x + 4)^{1/2}$.

Это сложная функция. Применим цепное правило. Внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, внутренняя $g(x) = x^2 - 5x + 4$.

Находим производные:

$f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5x + 4}}$

$g'(x) = (x^2 - 5x + 4)' = 2x - 5$

Производная исходной функции:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5x + 4}} \cdot (2x - 5) = \frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 4}}$

Подставим значение $x_0 = 0$:

$y'(0) = \frac{2 \cdot 0 - 5}{2\sqrt{0^2 - 5 \cdot 0 + 4}} = \frac{-5}{2\sqrt{4}} = \frac{-5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4}$.

Ответ: $-\frac{5}{4}$

г) $y = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}\right)^3$, $x_0 = 1$

Для нахождения производной используем цепное правило и правило дифференцирования частного.

Пусть $u(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}$, тогда $y(u) = u^3$.

Производная внешней функции: $y'(u) = 3u^2 = 3\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}\right)^2$.

Производная внутренней функции (по правилу частного):

$u'(x) = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}\right)' = \frac{(x^2+1)'(x^2+3) - (x^2+1)(x^2+3)'}{(x^2+3)^2}$

$u'(x) = \frac{2x(x^2+3) - (x^2+1)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{2x^3+6x - 2x^3-2x}{(x^2+3)^2} = \frac{4x}{(x^2+3)^2}$.

Общая производная $y' = y'(u) \cdot u'(x)$:

$y' = 3\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}\right)^2 \cdot \frac{4x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{12x(x^2+1)^2}{(x^2+3)^4}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$y'(1) = \frac{12 \cdot 1 \cdot (1^2+1)^2}{(1^2+3)^4} = \frac{12 \cdot 2^2}{4^4} = \frac{12 \cdot 4}{256} = \frac{48}{256}$.

Сократим дробь: $\frac{48}{256} = \frac{3 \cdot 16}{16 \cdot 16} = \frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$